2017 Fiscal Year Research-status Report
自由確率論の研究とその確率論・組合せ論・表現論への応用
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15K17549
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
長谷部 高広 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (00633166)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 自由確率論 / キュムラント / 自由安定分布 / 自由Levy過程 / 自由一般化逆ガウス分布 / 単峰性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Franz Lehnerとのキュムラントの一般論が完成した (論文投稿中)．これまで非可換確率論で知られていた様々な独立性に対する統一的な定義を与え，また同時に各独立性に対して定義されていたキュムラントを統一的に定義し，諸性質を示した．また我々の理論と自由リー代数が密接に関係していることが分かり，特に自由リー代数で知られているBaker-Campbell-Hausdorff公式に対する別証明を与えた．
Octavio Arizmendiとの共同研究で，確率変数の積に関する自由Levy過程の極限定理を研究した(論文投稿中)．時刻0で原点から出発する自由Levy過程は時刻が0に近いときにどのような分布を持つかを調べた．その結果，対数自由安定分布が現れることが分かり，確率論での同様の問題と類似していることが分かった．
Jiun-Chau WangとHao-Wei Huang と自由確率論の2次元への拡張とその畳み込みに関する極限定理に取り組み，２次元の確率論ベクトルに対する極限定理とよく対応することを証明した．
Kamil Szpojankowkiと共同で，確率論における一般化逆ガウス分布(generalized inverse gaussian distribution)の自由確率論版を研究した．特にこの分布は常に自由無限分解可能であるが，パラメータによって自由自己分解可能である場合とそうでない場合があることを示した．なお自由一般化逆ガウス分布はあるランダム行列の固有値分布として現れる．
学生の植田優希との共同研究で，初期分布をもつブラウン運動・自由ブラウン運動の分布の単峰性(unimodality)について研究し，論文が受理された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
博士課程学生の植田優希と行った単峰性の研究が期待以上に進展した．当初考えていた計画は自由ブラウン運動が初期分布を持つ場合に，時間とともに単峰性がどのように変化するかを調べるというものだったが，そこに新しく研究室に配属になった植田のアイデアが加わり，より研究が広がり，古典確率論においても同種の問題を考察してみたところ，新しいタイプの定理を示すことができた．自由確率論から動機づけられて確率論への新しい貢献になったこの研究は，今後もまだ色々な問題が残っており，継続して取り組みたい．
Hao-Wei Huang とJiun-Chau Wangとの共同研究は当初は予定していなかったが，彼らが来日して北海道大学を訪問した際に議論をして，思わぬ進展があった．
Octavio Arizmendiとの共同研究においては乗法的自由Levy過程の時刻0近傍における極限分布の解析をし，その結果，極限分布に現れる分布がDykemaとHaagerupによって既に知られている分布と一致するという驚くべき結果が得られた．この分布はある上三角ランダム行列の特異値分布として現れることが知られており，我々の結果がランダム行列理論と深くつながるのではないかという期待が出てきた．
一方で予定していた表現論の方は，様々な文献に当たったが，自分に適した具体的な研究課題が見つからず，あまり進展していない．
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| Strategy for Future Research Activity |
1. Thomas Simon, Min Wangと自由安定分布と古典安定分布の関係について詳細に調べていく．
2. Uwe Franz, Sebastian Schleissingerと議論をし，単調独立性と古典マルコフ過程の対応をつける．
3. 2次元の積に関する自由畳み込みの解析と，極限定理について調べる．
4. Hopf代数とキュムラントの関係を追求する．最近になって出てきた理論であるhomotopy probability theoryとの関係を調べる．
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| Causes of Carryover |
旅費がやや安く済んだので，次年度使用額が生じた．次年度分の旅費が不足した場合か，または書籍の購入費用に当てたいと考えている．
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Research Products
(14 results)
