2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K17553
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
佐藤 康彦 京都大学, 理学研究科, 助教 (70581502)
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2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 作用素環 / 分類定理 / Jiang-Su環 / 従順群 / 力学系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
作用素環論の中心的な話題の1つである核型C*環の分類理論において、 得られた分類定理を扱い易い条件にまとめる作業が現在多くの研究者によって行われている。Toms-Winter 予想に代表される分類定理の必要条件は、大きく分けて「Jiang-Su環の吸収性」「擬対角化」「Universal Coefficient Theorem (UCT)」とよばれる条件に焦点が絞られ、これらの条件がどの程度広いC*環で満たされるか？という問題が残された。つまり、これらを判定できる良い同値条件の獲得により分類理論は完成とみなせる。
これまでの研究から「Jiang-Su環の吸収性」については明確な同値条件が得られ、どの様なC*環がこの吸収性を満たすかという事が明らかとなっている。実際、この問題に大きく関わる Toms-Winter 予想はトレースが唯一という基本的な条件下で解決した。その応用として力学系から得られる接合積C*環のJiang-Su環の吸収性が得られている。
本年度は分類定理の条件である「擬対角化」に注目し、「Jiang-Su環の吸収性」を用いた手法で作用素環の擬対角性を判定した。具体的には、初等的従順群の力学系から得られる接合積C*環、部分的指数増大列を持つC*環、適当な条件下でコンパクト空間に作用するC*環に対し擬対角化を導く結果が得られている。この研究は M. Dadarlat 氏との共同研究であり、有限核型C*環の擬対角化を主目標として現在も継続中である。
また、これまでの研究で得られた結果を総括し、C*環の分類定理を論説としてまとめた。この論説では分類定理の主題であるToms-Winter予想を概観し、既存の研究結果から分類定理による帰結を集め掲載した。特に、分類理論からは研究題目の力学系への応用が多く、研究課題の従順群の力学系に深く関わるものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
従順群の作用から得られる接合積C*環に対し、本研究では分類条件の1つである「Jiang-Su環の吸収性」が示された。これは分類定理の適応範囲を、ほぼ全ての従順群作用へと拡張するもので、既存の作用素環で仮定されていた外部性などの条件を完全に取り除いたものである。これまでの研究では、この種の定理を示す際に Rohlin性、Rohlin次元有限、弱Rohlin性、強外部性などの技術的条件を作用に仮定する必要があり、条件を仮定しない設定では不明な部分が大きかった。実際、既存の研究では「Jiang-Su 環の吸収性」と「Rohlin性」との関連が多くの論文で示唆されている。本研究はこの定説を覆し、「Jiang-Su環の吸収」という分類条件が本質的に種々の「Rohlin性」とは関係ない事を示した。これは力学系における分類定理の適応範囲を大きく広げるものである。
研究計画であげたアメリカでの長期滞在後も、 Purdue大学の M. Dadarlat 氏と連絡を密にとり、擬対角化に関わる共同研究を進行中である。既にいくつかの重要な結果が得られている。また、華東師範大学（中国）、河北大学（中国）、Banff BIRS（カナダ） などにおける作用素環論の研究集会で本研究に深く関わる講演を行い、多くの研究者から重要な情報を得る事が出来た。実際、これらの研究集会で H. Lin, S. White, W. Winter 氏らと本研究に関わる有益な議論を重ねる事ができ、力学系の研究に対する大きな改善点が明らかとなった。
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| Strategy for Future Research Activity |
現段階で、C*環の分類定理は「擬対角化」と「UCT」の条件下で完成されており、その仮定の下では力学系の分類も可能な段階にきている。実際、分類可能なC*環について、自己同型（Z作用）に関する分類定理がある種のRohlin性の仮定で得られており、そこから派生する作用の分類も基本的な群に対しては多くの研究結果が知られている。今後はこれらの方向性を推し進め、分類定理で得られた技術を力学系の群作用の分類へ応用したい。
「Jiang-Su 環の吸収性」を力学系の分類へ応用する方向では、コペンハーゲン大学（デンマーク）の G. Szabo 氏が「Jiang-Su 環の吸収性」から類推される条件を群作用に定義し成功を収めている。この様なモデル作用を使った議論は元々 Connes によってはじめられた由緒正しい手法であったが、「Jiang-Su環」の発見によりこの手法のC*-環への応用が再び注目されはじめた。ごく最近、G. Szabo 氏はこの手法を足掛かりに実数体Rの力学系で顕著な結果を上げている。既に本年度は彼を私の所属する大学へ招き、この方針でいくつかの重要なアイディアを得る事ができた。今後はこの手法による分類理論へのアプローチを考え、問題点を解決したい。
また今後も「擬対角化」については本年度と同様の方針で M. Dadarlat 氏との共同研究を推し進める。
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| Causes of Carryover |
航空代金の変動のため。
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Research Products
(9 results)
