2016 Fiscal Year Research-status Report
特異的幾何学構造に由来する微分作用素とその確率論的対応物に対する数学解析
| Project/Area Number |
15K17554
|
|---|
| Research Institution | Kobe University |
|---|
Principal Investigator |
梶野 直孝 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (90700352)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
|
| Keywords | フラクタル / Apollonian gasket / Klein群の極限集合 / ラプラシアン / 固有値漸近挙動 / 拡散過程 / 熱核 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
平成28年度は，古典的かつ重要なフラクタルであるApollonian gasket上でのラプラシアンの構成と解析について，前年度に得られた結果をより一般化・深化させることを主な目標として研究を行った．
具体的にはまずApollonian gasketに類似の，平面内での円の詰め込みにより与えられるフラクタル，中でも2・3次元の幾何学・トポロジーとの関連で特に重要なKlein群（複素平面上の1次分数変換全体の成す群の離散部分群）の極限集合として現れる円詰込フラクタルを主な対象として，Apollonian gasketに対する結果の一般化を試みた．中間的な結果として「1点穴空きトーラスのタイヒミュラー空間のMaskit境界上の両側カスプ群」として知られているある具体的なKlein群の族の極限集合に対し，Apollonian gasketの場合に類似の手法でラプラシアンを構成しその固有値のWeyl型漸近挙動を証明した．この研究結果についてはより広範な円詰込フラクタルへの一般化が可能であろうとの感触を既に得ており，「有限分岐的な円詰込フラクタル」とでも言うべき枠組みへの一般化，および無限分岐的な例への拡張に向けて引き続き研究を進めている．
また，これら円詰込フラクタル上のラプラシアンに対しては固有値の漸近挙動の他，熱核の連続性や評価等の基本的な性質について未解明な部分が多いが，これに関して熱核が2次元ユークリッド空間への埋め込み構造に由来する「2次元的な」上からの評価を満たすことを証明した．熱核の連続性についても，少なくともApollonian gasketの場合には証明できるだろうとの感触を既に得ており，証明の完成と一般の円詰込フラクタルへの拡張に向けて研究を継続している．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上記「研究実績の概要」に記した円詰込フラクタル上のラプラシアンの話題については，平成28年度当初には解決の見通しは全く立っていなかった．そのような状況から，重要なKlein群の族である「1点穴空きトーラスのタイヒミュラー空間のMaskit境界上の両側カスプ群」の極限集合に対して期待されたラプラシアンの固有値のWeyl型漸近挙動を証明し，さらにより広範な円詰込フラクタルへの一般化についても解決の目処を立てられたことは予想外に大きな進展と言え，この点で研究は順調に進んでいると評価してよいと思われる．
一方，直近の具体的な研究課題として元々想定していた種々の話題については，研究集会への出席などを通して情報収集に努めてはいるものの，詳細な研究を自ら行う時間はわずかしか取れておらず，満足できる研究結果は得られていない．Liouville Brown運動の解析については熱半群のトレースの漸近挙動に関して限定的な状況下での結果が平成27年度中に得られており，そこでのアイデアを発展させる形で一般の場合に同様の主張を証明できるのではないかと見込んではいるものの，詳細を検討し証明を完成させるにはまだかなりの時間を要すると思われる．自己相似フラクタル上の熱核の詳細な短時間漸近挙動についても，当初想定の通りの方針で解決できるはずだと見込んではいるものの，研究の完成にはもう少し時間が必要である．これらの点で，当初想定していた具体的な課題についてはあまり研究を進めることができておらず，進展が十分に見込める状況ではあるもののは進捗はやや遅れていると言わざるを得ない．
以上を総合すると，円詰込フラクタルについての研究では大きな進展が見られた反面，元々予定していた具体的な課題の研究は少しずつ見通しを立ててはいるものの遅れており，全体としては順調だが当初の計画以上ではない，と評するのが妥当と思われる．
|
| Strategy for Future Research Activity |
平成28年度中に進展のあった課題の研究をさらに発展させるとともに，元々想定していた具体的な課題であるLiouville Brown運動の解析や自己相似フラクタル上の熱核の詳細な短時間漸近挙動についても研究を進める．またこれらの課題に限らずその他の関連する重要な課題についても幅広く解決の可能性を検討する．
具体的には，まず既にある程度見通しが立っている円詰込フラクタル上のラプラシアンについて，「有限分岐的な円詰込フラクタル」の枠組みへの一般化，および無限分岐的な例への拡張を試みるとともに，Apollonian gasket以外の場合も含めて熱核の連続性を証明できないか検討する．
Liouville Brown運動の解析については，熱半群のトレースの漸近挙動について現在のアイデアが機能するかどうか詳細を検討するとともに，関連分野を主題とする研究集会に参加し専門家との意見交換を積極的に行うように努める．自己相似フラクタル上の熱核の詳細な短時間漸近挙動についても，当初から想定している方針の議論が機能するかどうか検討する．
この他，フラクタル上の「測度論的リーマン構造」を考える際に現れる自然な体積測度について，その各点の近傍における漸近挙動の詳細な解析（マルチフラクタル解析）を行う研究が東北大学の田中亮吉氏との共同で平成28年度末から進行中である．具体的には，重要な例である調和Sierpinski gasketおよびApollonian gasketの場合に，自然な圧力関数のLegendre変換により測度の局所挙動の次元スペクトルが記述できること，および圧力関数やそのLegendre変換の詳しい性質の解明を試みる．
|
| Causes of Carryover |
平成29年度には種々の研究集会への参加のため6月から9月にかけて複数の海外出張を予定しているが，これは平成28年度中に決定した予定であり，平成29年度の交付予定額だけでは出張旅費の一部を工面できなくなる恐れがあったことから，平成28年度の交付額の一部を平成29年度中に要する出張旅費に充当する目的で未使用に留めたため．
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成29年度に予定している，研究集会への参加および研究打ち合わせのための海外出張の旅費に充当する．現在予定している出張は以下の3件：6月中旬から7月初旬のアメリカ・Cornell大学とNew York大学およびイギリス・Cambridge大学への出張，7月下旬から8月初旬のカナダ・British Columbia大学への出張，9月上旬のドイツ・Kaiserslautern工科大学への出張．
この他，国内で開催される種々の研究集会への参加および国内の研究者との研究打ち合わせのための出張旅費に使用するとともに，9月以降にその他の研究集会への参加もしくは研究打ち合わせのため海外出張の必要が生じた場合はその旅費に使用する．
|
Research Products
(10 results)
