2017 Fiscal Year Research-status Report
特異的幾何学構造に由来する微分作用素とその確率論的対応物に対する数学解析
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15K17554
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
梶野 直孝 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (90700352)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | フラクタル / Apollonian gasket / Klein群の極限集合 / Liouville Brown運動 / ラプラシアン / 固有値漸近挙動 / 熱核 / 劣Gauss型評価 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成29年度は主に，Klein群（Riemann球面上の1次分数変換のなす離散群）の極限集合（空でない最小の不変閉集合）として与えられる円詰込フラクタル（互いに交わらない開円板の和の補集合として与えられるフラクタル）におけるラプラシアンの解析に関し前年度に得られていた結果の一般化と深化，およびLiouville Brown運動に対する熱核のより詳細な評価の証明を目標に研究を行った．
具体的には，前者についてはこの話題に関し研究発表を行った際に聴衆からいただいた文献の情報を手掛かりに，極限集合が互いに交わりも接しもしない開円板の和の補集合であるようなある具体的なKlein群の族に対してその極限集合の構造を考察し，その上のラプラシアンの固有値の漸近挙動を解析するために必要な「極限集合の自己相似集合としての記述」を得た．さらにまた，最も古典的な円詰込フラクタルであるApollonian gasketの上のラプラシアンに関しては対応する熱核の連続性を証明した．
後者のLiouville Brown運動に関しては，イギリス・Cambridge大学を訪問し，従前からの共同研究者であるSebastian Andres氏，およびLiouville Brown運動に対応するランダム幾何構造の理論の専門家であるJason Miller氏との共同研究を開始した．ごく近年の研究の進展により，ランダムネスの空間的相関の強さを表す物理パラメータがある特定の値の場合については，このランダム幾何構造を平面上のランダムな距離関数として具体的に実現できることが分かりつつあり，筆者らの共同研究はこの距離関数に基づき理想的な形の劣Gauss型熱核評価を証明することを目標とするものである．熱核の上からの評価については証明可能であろうとの感触を既に得ており，下からの評価についても理解を進めるべく共同研究を継続している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
上記「研究実績の概要」に記した2つの話題のうち，後者のLiouville Brown運動に関しては本研究課題の開始時点では幾何構造のランダムな距離関数としての実現は知られていなかったため，これを用いて理想的な劣Gauss型熱核評価を与える研究は現実的な問題でさえなかった．平成29年度にこれを目標にした国際共同研究を開始し，まだ具体的な結果が得られた訳ではないものの解決に向けてよい感触を既に得ていることは予想外に大きな進展と言え，この点では研究は順調に進んでいると評価してよいと思われる．
前者の円詰込フラクタル上のラプラシアンの話題については，極限集合が互いに交わりも接しもしない開円板の和の補集合であるようなKlein群に対し筆者は平成29年度当初にはこれらのKlein群がどのように与えられるかすら理解できていなかったが，研究発表を行った際に有益な文献情報が得られたことを契機に「極限集合の自己相似集合としての記述」に到達できたのは大きな進展であり，この点で研究は着実に進んでいると言える．しかしながら，極限集合の幾何的性質に関して必要な情報は既に出揃っているにも拘らず，目標とするラプラシアンの固有値の漸近挙動の解析は研究時間の不足のために進めることができていない．
また，これらの他に直近の研究課題として元々想定していた種々の話題については，研究集会への出席などを通して情報収集に努めるとともに予想される結論の証明に取り組むなど進展に向けて努力はしているものの，いずれも当初予期していなかった解決困難な問題に直面するなどしており満足な研究結果は得られていない．
以上から，円詰込フラクタル上のラプラシアンおよびLiouville Brown運動についての研究で一定の進展は得られているものの，研究課題全体としては研究の進捗はやや遅れてしまっていると評価せざるを得ない．
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| Strategy for Future Research Activity |
上記「研究実績の概要」に記した，平成29年度中に主要な進展のあった2つの話題について，予想される主張の証明に向けて研究を継続する．
具体的には，まず前者の円詰込フラクタル上のラプラシアンの話題について，上述の具体的なKlein群の族に対し，平成29年度中に得た「極限集合の自己相似集合としての記述」に基づき極限集合上のラプラシアンの固有値の漸近挙動の解析を行う．証明の方針は平成28年度中に研究した「1点穴空きトーラスのタイヒミュラー空間のMaskit境界上の両側カスプ群」の極限集合の場合と大筋では同じであり，必要とされる修正点の処理方法も極限集合の既知の幾何的性質から既に見当が付いているため，証明の完成に大きな困難はないものと見込んでいる．また，平成29年度中に行えなかった「有限分岐的円詰込フラクタル」の枠組みへの一般化についてもほぼ同様の段階には既に到達しているため，この枠組みでのラプラシアンの固有値の漸近挙動の解析も並行して行う．またこれらの場合について，熱核の連続性を示すことも重要であり，Apollonian gasketに対し既に得られている証明を基にその一般化の可能性を検討する．
後者のLiouville Brown運動に関しては，Sebastian Andres氏およびJason Miller氏との共同研究を継続し，熱核の上からの評価については早期に証明を完成させるよう，また下からの評価についても解決の目処を立てられるよう努力する．そのための方策として，定期的に研究連絡を取り重要なアイデアの共有に努めるとともに，必要に応じてイギリス・Cambridge大学を訪問したり世界各地の主要な研究集会に参加したり，あるいはAndres氏やMiller氏を日本に招聘したりすることにより両氏との議論の機会を持つよう心掛ける．
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| Causes of Carryover |
平成29年度にはLiouville Brown運動に対する熱核評価に関して，従前からの共同研究者であるSebastian Andres氏，およびLiouville Brown運動に対応するランダム幾何構造の理論の専門家であるJason Miller氏との共同研究を行うために，2018年1月～3月の間の適切な時期にイギリス・Cambridge大学を訪問して両氏との議論を行うかAndres氏を日本に招聘することを計画していた．しかし1月～2月中旬は筆者の，2月～3月中旬はAndres氏とMiller氏の所属研究機関における職務の都合により訪問や招聘を行うことが不可能であることが判明した．
そこで両氏と相談した結果，3月下旬以降に筆者がCambridge大学を訪問して3人で議論を行うのが最適であるとの結論に至った．ところが3月下旬だけでは議論のための時間を十分に確保できないことが危惧されたため，3月下旬から4月の最初の1週間にかけてCambridge大学を訪問することとした．そのために4月の最初の1週間のイギリスでの滞在費および帰国便の航空券の代金を本研究課題より工面する必要が生じ，そこで所要金額を次年度使用額として保持した次第である．
当該海外渡航は2018年4月初頭に終了しており，次年度使用額は上述の通り4月分の旅程に対する旅費として既に全額を使用済みである．
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