2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K17556
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
廣瀬 三平 芝浦工業大学, 公私立大学の部局等, 講師 (20743230)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 完全WKB解析 / Stokes曲面 / 新しいStokes曲線 / 仮想的変わり点 / 偏微分方程式系 / 超幾何系 / Pearcey系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成27年度は実施計画に挙げた研究計画である(1)Pearcey系の接続公式、(2)(1,4)型の超幾何系のStokes幾何を中心にしつつ、関連する偏微分方程式系の完全WKB解析の研究を進めた。
(1)については、(a)WKB解のBorel変換の特殊函数による記述、(b)変わり点の近傍での解の一価性の議論、の両面からの考察を行った。(a)に関してはWKB解のBorel変換が多変数の超幾何函数に類似した函数で記述できることが判明した。(b)に関してはStokes曲面の補集合であるStokes領域の配置が重要な役割を果たすことからこの配置の記述を行った。特に、一価性の議論を行うためにはStokes領域の隣接関係から定まるグラフの閉路が必要であるのでこれを求めた。
(2)については、(1,4)型の超幾何系と呼ばれる2変数の偏微分方程式系を複素直線に制限して得られる高階常微分方程式(AKT方程式)のStokes幾何、特に無限個の仮想的変わり点を考察した。具体的にはStokes現象に関わる有効な仮想的変わり点、関わらない有効でない仮想的変わり点を区別すると、複素直線を動かしたときに有効と有効でない仮想的変わり点の入れ替わりが起こることを発見し、さらに入れ替わりの場所の記述を行うことができた。この結果は「On the redundant and non-redundant virtual turning points for the AKT equation」としてまとめた。
これら実施計画に記入したものに加え、Pearcey系をBorel変換して得られる偏微分方程式系の超局所解析的な構造、代数的記述が可能であるStokes幾何の構造など関連する研究についても進めた。
また、ポーランドで開催された国際研究集会、広島大学や東京大学玉原国際セミナーハウスで開催された研究集会において講演を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究実績の概要に述べた(1)Pearcey系の接続公式については接続公式自体の導出はできなかったが、実施方針である(a)、(b)ともに進展があった。これらの結果を用いて平成28年度に接続公式の導出を試みる。ここで(b)において行ったグラフ論的な考察は、平成29年度の実施計画に記入したものであるが、Pearcey系に制限する形ではあるが先取りする形になった。
また、研究実績のもう一つの内容である(2)(1,4)型の超幾何系のStokes幾何については、有効な仮想的変わり点、有効でない仮想的変わり点の区別をしたStokes幾何の結果を得ることができた。これは実施計画に記入した内容が達成されたと判断できる状況である。
さらに、研究実施計画には記入しなかったが、関連する内容であるPearcey系をBorel変換して得られる偏微分方程式系の超局所解析的な構造、代数的記述が可能であるStokes幾何の構造も考察を行う必要があると認識した。そこでこれらについても研究を行った結果、新たな現象の観察や新しい視点からの考察を行うことができた。これらに関しては研究実施計画には記入していないが、密接な関係にあり、また重要な役割を果たすと考えられるので今後も合わせて進めていく。
以上のように実施計画に記入した(2)については達成し、また平成29年度に予定していたグラフ論的な考察や実施計画に記入していなかった内容を進展させることができたが、(1)のPearcey系の接続公式が未完成であるので「やや遅れている。」と判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究内容の一つとして、平成27年度に得られなかったPearcey系の接続公式の導出を行う。この導出については、研究実績の概要に記入した(a)、(b)の方針から考察が進められており、接続公式の導出において必要となる結果も得られているので、この方針で議論を引き続き進める。
平成28年度の実施計画に記入した(2,3)型の超幾何系の完全WKB解析、A4型の振動積分を解に持つ偏微分方程式系の完全WKB解析については、平成27年度の実施計画に大幅な遅れがないので予定通り計画を進める。これらの内容については、これまでに代表者が行ったPearcey系や(1,4)型の超幾何系に対する議論が役に立つと考えられることから、まずこれらの議論を適用することを計画している。特にこれらの偏微分方程式系を複素直線に制限して得られる高階常微分方程式に現れる新しいStokes曲線や仮想的変わり点と偏微分方程式系のStokes曲面の関係を調べる。また、(2,3)型の超幾何系についてはPearcey系や(1,4)型の超幾何系と異なり、方程式系に特異点が現れるのでこの特異点が果たす役割について考察を行う。A4型の振動積分を解に持つ偏微分方程式系については解空間の次元が4であり、解空間の次元が3であるPearcey系や(1,4)型の超幾何系とは異なるのでこの点に注意して議論を行う。ここでA4型の振動積分を解に持つ偏微分方程式系のStokes幾何は、研究実績の概要に記入した代数的記述が可能なStokes幾何であるのでこの視点からも研究を進め、同時に代数的記述が可能であるStokes幾何の構造についての考察もこの例を用いて進める。
さらに、Pearcey系をBorel変換して得られる偏微分方程式系の超局所解析的な構造についてはこれまでに得られた現象の調査を計画している。
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| Causes of Carryover |
計算機の購入を予定していたが、平成27年度の研究実施内容には必要がないと判断したので購入を見送った。
また、本課題に関係する研究集会への参加を予定していたが、都合により参加出来なかったので次年度使用額が発生した。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
物品費の次年度使用額については次年度には計算機が必要となるので、予定通り購入を行う。
また、旅費の次年度使用額については次年度も研究集会が開催される予定なので、そのための旅費として使用する。
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