Construction of abstract theory for Schrodinger evolution equations

2017 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15K17558
• Research Institution: Kanagawa University
• Principal Investigator: 吉井 健太郎 神奈川大学, 工学部, 講師 (00632449)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: シュレディンガー発展方程式 / 双曲型発展方程式 / 時間依存型ユニタリー変換

Outline of Annual Research Achievements

シュレディンガー発展方程式を含む多くの時間発展を伴う偏微分方程式は, 発展方程式と総称され, シュレディンガー発展方程式は特に双曲型発展方程式と呼ばれるものに分類される.
本研究の目的は双曲型発展方程式の解析における俯瞰的視点の獲得のために, 抽象理論の構築すること, また理論構築の1つとしてシュレディンガー発展方程式の解析に用いられる時間依存型ユニタリー変換の理論を抽象化することである.
偏微分方程式の抽象理論の構築は, 複数の種類の偏微分方程式に対する統一的な解析方法を提示する. そのため個別の偏微分方程式の特異な性質を解析することはできない. しかし, それら個別の解析のための準備として必要とされる共通の性質の解析において有用である. 特に時間依存型ユニタリー変換やその類似の技法はそれぞれの偏微分方程式で個別に利用されており, それらに対してある程度の統一的な視座を与えることは今後の偏微分方程式研究の効率化に寄与することが期待できる.
双曲型発展方程式との類似点がある放物型発展方程式に関して, 近年いくつかの抽象論が提唱されており, 平成29年度はそれらの最新の成果について放物型発展方程式の研究者と意見交換を行い, 対応する双曲型発展方程式の抽象論の構築の可能性を検討した. 現状では成果と言えるものは得られていないが, これは今後の研究とする.
時間依存型ユニタリー変換の抽象化については, それ単独での抽象化ではなく, 基となる抽象理論自体にも新たな柔軟性を確保することで目的を達成できると予想されるが, これについても今後の研究とする.