2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K17562
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
天羽 隆史 立命館大学, 理工学部, 助教 (10737539)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 超関数に対する伊藤の公式 / Malliavin解析 / Skorokhod積分 / smoothing effect |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Diracのデルタ関数にBrown運動を合成したものはDonskerのデルタと呼ばれる。これは一般化Wiener汎関数としてしか定式化出来ない一方で、それをBrown運動の時間パラメータに関して積分すると、それは局所時間と呼ばれる古典的Wiener汎関数になってしまう、という正則化と呼ぶべき現象が起きることは、以前からNualart-Vivesらの研究によって知られていた。今回の立命館大学の琉佳勲氏との共同研究によって、一般のSchwartz超関数に滑らかで非退化な拡散係数を持つMarkov型確率微分方程式の(強い)解を合成した一般化Wiener汎関数に対しても同じことが起こることを示し、さらにどれくらい正則化されるのかという指標として、Malliavin解析におけるMeyer-渡辺空間の指数を用いて表現することができた: つまり、Schwartz超関数に解を合成した一般化Wiener汎関数が属する空間の指数より、それを時間積分した一般化Wiener汎関数が属する空間の指数の方が少なくとも1大きい。この結果を得るために、良く知られている伊藤の公式を超関数に対してまで定式化した。従来の研究では、二回連続的微分可能な関数や、凸関数(もしくはこれらの複合)に対する伊藤の公式までしか知られていなかったので、飛躍的な一般化と言える。
また、Roland Friedrich氏との共同研究として、Loewner-Kufarev方程式をラフパス理論の文脈で捉えるため、その方程式を駆動する道に対応するsignatureと呼ばれるものを使って理解する試みについて研究を開始した。Loewner-Kufarev方程式の解そのものを、ある種の真空期待値として表現した場合には、signatureは真空に作用するgroup-like elementのようなものとして理解できることまで分かった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Wiener汎関数の正則化の研究は、当初予定していた確率微分方程式のGalois理論について考えている際に、研究の方向が少しずれたその延長として纏まったものであるので、この部分に関しては遅れていると判断するべきだと思う。一方でループ空間上の確率解析の研究に関しては、上述の通りRoland Friedrich氏との共同研究を開始することが出来て、さらに研究の方針も固まってきているので、概ね順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
上述の通りRoland Friedrich氏との共同研究として、Loewner-Kufarev方程式をラフパス理論の文脈で捉えるために、その方程式を駆動する道に対応するsignatureと呼ばれるオブジェクトを用いて理解する試みについて研究を開始している。去年度の研究によって、Loewner-Kufarev方程式の解そのものを、ある種の真空期待値として表現した場合には、signatureは真空に作用するgroup-like elementのようなものとして理解できることまで分かっている。さらにLoewner-Kufarev方程式の解は単葉関数を定めるので、Krichiver embeddingによってSegal-Wilson Grassmannianに埋め込まれ、ゆえにあるtau-関数が対応する。今年度の研究の方針は(1) このtau-関数を、上のsignatureを用いて表現すること。(2)この駆動関数は単位円周上の確率測度に値を取るため、解写像の連続性をWasserstein距離を用いて測ることに意味がある。この方向についても研究していく。
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| Causes of Carryover |
2016年度は10月から1月中旬まで、立命館大学の学外研究制度を使って、外国にて学外研究をしていたが、この間の旅費は立命館大学から支給されたため、支給された研究費を全額使うには至らなかった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2017年度はドイツのSaarland大学からRoland Friedrich氏を招聘して、現行の共同研究について深い議論をしようと考えているため、そのための費用に充てようと考えている。
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