2017 Fiscal Year Annual Research Report
Asymptotic analysis in harmonic analysis by using Newton polyhedra
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15K17565
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| Research Institution | Fukuoka Institute of Technology |
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Principal Investigator |
野瀬 敏洋 福岡工業大学, 工学部, 助教 (90637993)
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2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ニュートン多面体 / 振動積分 / 局所ゼータ関数 / トーリック・ブローアップ / 特異点解消 / 漸近解析 / 解析接続 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
最終年度は局所ゼータ関数の正則関数および有理型関数としての性質について研究を行った。特に、局所ゼータ関数を定める関数が、ニュートン多面体が1点であるような非実解析的関数である場合について、有理型拡張の範囲をニュートン多面体の幾何学的情報により評価した。これらの結果と合わせて、研究期間全体を通じた研究実績の概要は以下の通りである。これらは九州大学数理学研究院の神本丈氏との共同研究によるものである。
(1)無限回微分可能関数の零集合に対する、ニュートン多面体を用いた局所的なトーリック・ブローアップについて考察を行った。特に2次元の場合に、具体的に構成された複数のトーリック・ブローアップと座標変換の合成によって、無限回微分可能関数が、単項式と平坦な関数の和(に非零な関数を乗じたもの)として局所的に表されることがわかった。この結果は無限回微分可能関数を取り扱う際に今後も広く応用されることが期待される。
(2)2次元の振動積分について、相関数がある非実解析的無限回微分可能関数である場合に、その漸近挙動を調べた。先行研究として、特別な場合の漸近挙動の評価がA. Iosevich-E. Sawyerにより得られていたが、より一般的な相関数についてより詳しい漸近極限を得た。その漸近極限にはこれまでに見られない形で対数項が現れており、相関数のレギュラリティの違いが漸近挙動に強く影響を及ぼすことがわかった。
(3)2次元の場合の局所ゼータ関数について解析を行った。まず、ある非実解析的無限回微分可能関数によって局所ゼータ関数が定まる場合には、ある点を越えて有理型関数として解析接続できないことを示した。その際、局所ゼータ関数の特異点付近での漸近挙動に対数項が現れるなど、非常に興味深い結果を得た。また、より一般的な場合について、有理型拡張の範囲をニュートン多面体の幾何学的情報により評価した。
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