2016 Fiscal Year Research-status Report
双安定反応拡散方程式に対する定常解構造と界面運動の解析
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15K17569
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
菅 徹 東京工業大学, 理学院, 助教 (60647270)
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2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 双安定反応拡散方程式 / 領域変形 / 特異極限 / 定常問題 / 分岐解析 / 安定性解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ダンベルの形を保持したまま1次元区間に縮退する領域の特異極限を考え、その領域における双安定反応拡散方程式の解構造の研究を行った。特に、この特異極限で現れる1次元区間上の極限方程式がどのようなものであるかを考察し、元の反応拡散方程式と極限方程式の定常解構造の関係性を調べた。加えて、極限方程式の定常解構造に対する分岐解析を行った。具体的な成果は以下の通りである。
接合漸近展開法を用いて極限方程式を形式的に導出した。極限方程式は、前年度に考察した、拡散係数に関する特異極限で現れる方程式と同等のものであることが分かった。この極限方程式によって、元の反応拡散方程式の定常解構造がほぼ決定されることを示した。実際、極限方程式に非退化な定常解が存在すれば、その近傍に元の反応拡散方程式の非退化な定常解がただ1つ存在し、それらのモース指数が等しいことを証明した。もし極限方程式の定常解がすべて非退化であれば、そこから元の反応拡散方程式の定常解をすべて決定できる。
極限方程式の定常解構造については、反応項に対する適当な条件の下、以下のことを示した。まず、不安定な定数解から分岐する非定数解の大域的な枝の存在を示した。これらの枝は、その上にある解の対称性に応じて番号付けができる。偶数番目の枝上には2次分岐点が存在しない一方で、奇数番目の枝上にはただ1つ2次分岐点が存在することを証明した。さらに、その2次分岐点を通過する際、解のモース指数が1つ小さくなることも示した。特に、単調な非定数解が、2次分岐を経て安定になり、その後常に安定であることが分かった。前年度においても同様の方程式に対する分岐解析を行ったが、2次分岐点の個数をコントロールするための反応項の条件が不明であった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
定常解構造のみでなく、解のダイナミクスについても解析を進める予定であったが、一部技術的困難を回避できず計画通り研究が進まなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
定常解構造の詳細な解析に加え、解のダイナミクスに関する考察を行う。また、より複雑な領域に対する特異極限問題について、今年度と同様の成果が得られるか研究を進めていく。
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| Causes of Carryover |
国内学会参加のための旅費が予定より少なく済んだため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究打ち合わせの旅費に使用する予定である。
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