2016 Fiscal Year Research-status Report
Boltzmann方程式の解の境界近傍での特異性解析
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15K17572
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
陳 逸昆 京都大学, 情報学研究科, 特定講師 (10748833)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 偏微分方程式 / 境界値問題 / Kinetic Theory / 特異性 / Boltzmann 方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
申請者は、境界を有する領域での気体分子運動論と、その数理モデルとして現れる Boltzmann 方程式の定常解との対応を明らかにすることを本研究の目的としている。特に、本研究では定常線型 Boltzmann 方程式の境界値問題における、境界値から派生する解の特異性を研究の対象としている。過去には境界近傍における解の勾配量の増大度に関心を置いていたが、平成28年度は解そのものの境界近傍の挙動を研究し、以下の2つの結果を得ることに成功した。
1つは、定常輸送方程式と呼ばれる、定常線型 Boltzmann 方程式と類似した方程式の境界値問題における、境界値の不連続性の伝播についてである。3次元空間における2枚の平行な平面の間で定常輸送方程式を考えたとき、境界値の不連続性が解の不連続性として直線上に伝播するための十分条件を2つ与えた。この研究は研究協力者である京都大学大学院情報学研究科博士後期課程の川越大輔との共同研究である。
もう1つは、有界凸領域での定常線型 Boltzmann 方程式の境界値問題における、境界値の滑らかさと解の滑らかさとの対応についてである。有界凸領域で定常線型 Boltzmann 方程式の境界値問題を考えたとき、境界値がヘルダー連続であれば解もまたヘルダー連続で、その2つのヘルダー指数は一致する、というものである。この結果は、定常線型 Boltzmann 方程式に現れる積分項は、解の滑らかさを下げないことを示唆している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画に沿って、定常輸送方程式の境界値問題における境界値の不連続性の伝播が、定常輸送方程式が有する積分項の性質を利用して証明された。この成果により、申請者が研究の対象としてきた解のモーメント量の性質についての理解が深まった。この観点から、研究はおおむね順調に進展していると判断したい。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進方策として、2つの問題を解決することを考えている。
1つは、平成28年度に得られた結果の拡張である。平成28年度の結果では、いわゆる Dirichlet 境界値問題のみを考察の対象としていたが、定常線型 Boltzmann 方程式では他の境界条件も提案されている。その中でも申請者は特に拡散反射境界条件に興味があり、この境界条件の下でも今回と同様の結果を得られるのではないかと予想している。この予想を証明することを今後の研究の推進方策の1つとして考えている。
もう1つは、定常輸送方程式の係数決定逆問題である。この問題は医学の分野に応用がある。平成28年度に得られた不連続性の伝播に関する結果は、この逆問題を解く新たな手法の手がかりとなると申請者は確信している。しかしながら、数学的に非自明な箇所が多数存在するので、平成29年度はその数学的に非自明な箇所を精査する。
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