2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K17573
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
藤嶋 陽平 静岡大学, 工学部, 准教授 (70632628)
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2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 熱方程式 / 非線形問題 / 拡散現象 / 解の存在 / 解の特異性 / 有限時間爆発 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形拡散方程式は拡散項による解の拡散効果と非線形項による解の増大効果のバランスによって、その解の挙動は様々な様相を呈する。特に、非線形項の効果によって解の空間特異性が現れる解の爆発現象についての研究を行なっている。
本年度は、非線形拡散方程式の系に対する爆発集合の解析および昨年度に引き続き、一般の非線形性を有する熱方程式の解の存在について主に研究を行なった。非線形拡散方程式系では複数の非線形拡散方程式が相互に干渉し合うことにより、単独の方程式に比べてその解析は非常に困難となる。実際、解の爆発集合の位置に関する研究では、球対称性を課した条件下を除くとその特徴付けについては多くの未解決な問題がある。本年度の研究では、解と同時に爆発する優解を用いて解の爆発集合の特徴付けを行い、解が適切な境界条件の下では境界爆発は起こり得ないことを方程式系の解に対して示した。
また、昨年度に引き続き、一般の非線形性を有する熱方程式の解の存在についても議論を行なった。一般の非線形熱方程式に対する Cole-Hopf 変換に基づき、大域解の存在について研究した。局所解の構成のためには解の cut-off などの工夫が必要であったため、構成された局所解が実際に大域的に存在するかについては未解決であった。特に問題となるのが、解の一意性が未知であるため、構成した局所解のコントロールが難しい点であったが、複数の補助方程式を介することで解のコントロールが可能となった。その結果、適切な積分量が十分に小さな解は大域的に存在することを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非線形拡散方程式の系に対する爆発問題の解析なども行うことができ、本研究で得られた議論が広く適用できるようになったため、研究はおおむね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
一般の非線形性を有する熱方程式に対する局所解の存在、大域解の存在を示すことに成功したため、今後は大域解の非存在についての議論を進める予定である。更に、局所解の一意性についても検討を行う。
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| Causes of Carryover |
一部出張旅費の先方負担などで差額が生じたため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度の書籍の購入などに充てる予定である。
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