2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K17573
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
藤嶋 陽平 静岡大学, 工学部, 准教授 (70632628)
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2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 非線形拡散方程式 / 解の局所存在・非存在 / 時間大域解 / 漸近挙動 / 藤田指数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
様々な非線形熱方程式の解の性質、特に解の挙動および特異性について明らかにするのが本研究の目的である。
本年度は退化型非線形熱方程式および非線形熱方程式の系の研究について主に行った。退化型非線形熱方程式の研究についてはべき乗型非線形項を考え、時間大域解の存在・非存在について研究を行った。特に、拡散項については非自己共役な作用素に基づくものを考えるため、線形拡散方程式の解の減衰を求めるために既存の理論を適用することができないという困難があった。そこで、退化を引き起こす関数を特殊なものに限ることで、退化の強さが解の減衰に与える影響を詳しく調べ、大域解の存在・非存在を分ける臨界の非線形性を導出した。しかし、拡散項の取り扱いの複雑さが起因し、解の詳細な振る舞いは分かっておらず、今後、進展させたいと思う。
非線形熱方程式の系に関する研究では、解の局所存在を分ける臨界の初期値の特異性について調べた。特に２つの非線形熱方程式の系を考え、それぞれの非線形項が他方の方程式の解のべきとして表される場合を考察した。非線形熱方程式の系では２つの方程式の非線形性のバランスによって様々な状況が考えられ、単独の場合に比べて状況が非常に複雑に絡み合うことがわかってきた。一部の状況においては解の局所存在・非存在を分ける臨界の特異性を導出することができたが、単独とは大きくことなる状況で未解決な部分も多く、来年度の研究で明らかにしたいと考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非線形熱方程式系や退化型方程式など様々な方程式を扱うことができている。退化型方程式の研究はまだ始まったばかりであり、解の詳しい漸近挙動や特異性などについては今後の課題となるが、通常の熱拡散とは異なる拡散項にも研究の幅を広げることができた。他にも非線形熱方程式の系のように、複数の方程式の相互作用が起きるものの取り扱いを始めることができたため、研究対象を確実に増やすことができている。これらの詳細な挙動は今後の課題であるが、当初の予定よりも多くの方程式を扱うことが出来始めている。
一般の非線形性を有する非線形熱方程式に対しては、時間大域解の非存在まで含めた完全分類については未完であるが、適切な関数空間における小さな初期関数に対する大域解の存在などの当初目標としていた研究を順調に進めることができている。
以上のことから、現在までの研究はおおむね順調に進展していると判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度の研究で解決できなった部分を今後、明らかにしていきたいと考えている。特に、非線形熱方程式の系に対して、２つの非線形性のバランスによる解の局所存在・非存在を分ける臨界の初期関数の特異性の違いを明らかにしていく予定である。
退化型方程式については、その退化性により既存の理論の多くが適用できない。そのため、まずは非線形現象を解析する上で必要となる土台整備から始めていきたいと考えている。特に、Liouville型定理のような大域解の非存在定理などの検証から始める。非線形現象を解析するための基礎作りを行い、本格的な解析への道筋をつけたいと考えている。
一般の非線形性を有する非線形熱方程式に対しては時間大域解の非存在が起きるような状況を調べ、時間大域解の存在・非存在を分ける臨界の状況の解析を進める。
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| Causes of Carryover |
必要な書籍などが揃ってきており、物品の購入を抑えることができたため、残額が生じた。次年度使用額は翌年度の旅費や物品の購入に充てる予定である。
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