2016 Fiscal Year Research-status Report
臨界Hardyの不等式と対数型特異性を伴う偏微分方程式への応用
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15K17575
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
猪奥 倫左 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 准教授 (50624607)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Hardyの不等式 / スケール不変性 / 対数型特異性 / 半線形熱方程式 / 存在・一意性の分類 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
臨界Hardyの不等式が持つ不変構造，および半線形熱方程式が持つ可解性・一意性について研究を進め，以下の成果を得た．昨年度までに得た局所解の分類定理についてさらに研究を深め，初期値にスケール不変量の小ささを仮定すると時間大域解が構成できることを一般の非線形項に対して証明した．
また，指数型の非線形項に対して一意性の分類定理を得た．これは特異定常解によって分類される．今後は一意性の結果を一般の非線形項に拡張する．
考察する領域が球の場合の臨界Hardyの不等式について，非線形スケール不変構造が不等式の剰余項を完全に決定することを証明した．すなわち，剰余項に現れる対数関数の多重合成が，１段階手前の剰余項が満たす不変性によって自動的に決定されることを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
指数型非線形項を持つ半線形熱方程式は，臨界Sobolevの不等式であるTrudinger-Moserの不等式を背景に持ち，これを特徴付けるMoser列は対数型特異性および非線形スケール不変性によって特徴付けられる．本研究で得られた対数型特異性を伴う不等式・半線形熱方程式に関する結果は，これらの関連性がより一般の場合に成り立つことを示唆している．
一方で，臨界Hardy不等式の分数階微分作用素やDirac作用素への拡張はまだ得られていないため，今後はこれに取り組んでいく．
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| Strategy for Future Research Activity |
指数型非線形項を持つ半線形熱方程式に対して得られた一意性の分類を，一般の非線形項に拡張する．また，分数階微分作用素やDirac作用素に対する臨界Hardy不等式について研究し，これらを特徴付ける不変構造を探求する．
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| Causes of Carryover |
予定していた研究連絡のための出張にキャンセルが入り，残額が発生した．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度使用額の25065円は，国内研究連絡のための出張旅費として使用する．
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