2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K17594
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
池田 幸太 明治大学, 公私立大学の部局等, 講師 (50553369)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 応用数学一般 / 中心多様体縮約理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
パルス波の渋滞現象を記述する方程式として、各パルス波を特徴付ける２つ遷移層の運動を記述する方程式と、相互作用を引き起こす外部場を記述する拡散方程式の連立偏微分方程式を導出し、その解析を行うことが現在の研究課題である。本来は反応拡散方程式系によってパルス波の集団運動は記述されるが、特異摂動法を適用するで、方程式の縮約を行うことができる。ここで得られた連立偏微分方程式は、階段関数のような不連続性を含んでいるため、解析的に困難な点を含んでしまう。中心多様体論の構築を行う際、ある種の発展方程式を扱い、中心方向と直交する方向の解の挙動を調べることが最も重要となる。ある種の線形化作用素の解析を行うことが研究の核となるのだが、本研究において現れる線形化作用素には、不連続性の影響で自然にデルタ関数が現れる。このような強い特異性を有する場合、既存の中心多様体理論を適用することはできない。そこで、中心多様体理論の構築の第１歩として、不連続性を含んだ方程式系における中心多様体理論の構築を目標とし、一定の成果が得られた。デルタ関数の存在によって、既存の理論で用いられた手法がいくつも破綻することとなり、本研究では新たな手法の開発が必要となった。特に、線形化作用素の０固有関数空間に相当し、かつ中心多様体をバナッハ多様体と見なした際に定義される束に作用する、ある同型写像を定義する必要があった。この同型写像によって、各切断が一様な性質を持つ束を導入することが可能となる。この事実を用いれば、対象となる線形化作用素が解析的半群を生成することが分かる。本研究で用いられた同型写像の構成方法は先行研究と本質的に異なるものであり、新しい結果が得られたと言える。特に、正則性の低いデルタ関数を含んでいる場合にも適用できる手法を開発できたので、応用範囲は非常に広いと言える。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
パルス波の渋滞現象に対応した理論の構築を行うため、デルタ関数を含んでいる場合に対して中心多様体理論を適用することを考え、一定の成果を得た。既存の理論ではデルタ関数のような強い非線形性を含む場合には対応できなかったため、新しい結果を得たと言える。中間距離相互作用を含んだ場合に関する中心多様体理論の構築についてはまだ十分な結果は得られていないが、既存の理論を乗り越え、発展させたという点において、十分な結果を得たと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究計画にしたがい、２８年度は３変数反応拡散方程式におけるパルス波の諸性質を明らかにしたい。中間距離相互作用に関する中心多様体理論の構築を行うためには、パルス波における様々な仮定が必要となる。そのため、事前にパルス波の性質を詳しく調べることで、仮定できる性質の範囲を見定めておくべきである。成り立たない性質を仮定して理論の構築を行っても無意味であるため、今年度はパルス波の性質を得ることを第１の目標としたい。
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| Causes of Carryover |
研究成果発表費用として予算を計上したが、予定した額を下回ったため、支出額に差異が生じた。また、いくつかの研究集会での共同研究者と会う機会に恵まれたこと、本課題の研究代表者が所属する大学を共同研究者が訪問する機会に複数回恵まれた。以上のような理由によって、予定されていた支出費用を削減することができたことが理由として挙げられる。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
２７年度に削減できた予算を、２８年度の研究成果発表費用として計上する。２８年度は、７月にアメリカのOrlandoで行われる国際会議において、発表を予定している。また、９月にポーランドで行われる研究会においても発表を予定している。計画当初に予定したよりも、国際的な研究会に参加する機会に多く恵まれたため、参加費用が予定よりも必要となった。
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