2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K17594
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
池田 幸太 明治大学, 総合数理学部, 准教授 (50553369)
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2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 応用数学一般 / 中心多様体縮約理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ある興奮系の反応拡散方程式系におけるパルス波の集団運動は、得意摂動法を適用することで、各パルス波を特徴付ける２つ遷移層の運動を記述する方程式と、相互作用を引き起こす外部場を記述する拡散方程式によって記述される。ここで得られた方程式系に中心多様体縮約理論を適用することで、集団運動の解析を行いたい。しかしながら、この方程式系は階段関数のような不連続性を含んでいるため、解析的に困難な点を含む。中心多様体論の構築を行う際、ある種の線形化作用素の解析を行うことが研究の核となるのだが、本研究において現れる線形化作用素には、不連続性の影響で自然にデルタ関数が現れる。このような強い特異性を有する場合、既存の中心多様体理論を適用することはできない。そこで、中心多様体理論の構築の第１歩として、不連続性を含んだ方程式系における中心多様体理論の構築を目標とし、一定の成果が得られた。
２０１６年度の研究では、特に樟脳船の集団運動に関するモデル方程式を取り扱った。多数の樟脳船が互いに相互作用を及ぼし合う系を想定し、樟脳船の位置と速度に関する縮約方程式を導出した。まず、線形化作用素の基本的な性質であるフレドホルム性を明らかにした。また、固有値が存在する範囲を特定し、レゾルベント評価を行った。この結果により射影作用素を定義することが可能となる。実はデルタ関数の存在により、この射影作用素は微分可能ではない。そのため、既存の理論で用いられた手法がいくつも破綻することとなり、本研究では新たな手法の開発が必要となった。前年度に構築した手法と組み合わせることにより、この困難な点を克服し縮約方程式の導出に成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
パルス波の渋滞現象に対応した理論の構築を行うため、デルタ関数を含んでいる場合に対して中心多様体理論を適用することを考え、一定の成果を得た。特に線形化作用素の基本的な性質であるフレドホルム性、固有値や固有関数の性質を得ることができた。また、デルタ関数の強い非線形性の影響を考慮した中心多様体縮約理論を構築することができたので、新しい結果を得たと言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
２９年度は３変数反応拡散方程式に対して中心多様体理論を適用したい。これまでに得られたパルス波の性質と、新たに構築した中心多様体理論を組み合わせることで、今年度はパルス波の集団運動の解析を行う。
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