2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K17595
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
物部 治徳 岡山大学, 異分野基礎科学研究所, 特任准教授 (20635809)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 界面方程式 / 進行波解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
界面方程式を解析するとき、位相変化は一般的に発生する。例えば、曲線短縮方程式などは任意のJordan曲線は有限時間で一点に収縮することが確認されている。また、3次元以上になるとpinchingという位相変化が生じることが確認されている。一方で、細胞運動など生体膜の運動を微分方程式で記述するとき、界面方程式が出現することが近年確認されている。対象となる生体現象によっては、位相変化しないものが好ましいものもいくつか存在する。そこで、本研究では界面方程式を考える上で、どのような条件を方程式が持てば、位相変化が起きないのか？という問題に取り組むことにした。研究計画では、界面の内側および外側に別の界面を用意して、その相互作用により界面の位相変化が防げるのではないかと考えた。しかしながら、計算を重ねるうちに、その方法は現段階では解析が難しく、検討を付けるのが容易ではなかった。そこで、まずは外力の効果に着目して、その影響により界面の位相が変化しない様子を描写出来ないか考えた。研究計画は、まず位相変化が生じない特殊解を見つけ、その安定性解析をすることで、界面方程式の大域的な挙動を把握しようというものである。この結果、外力が単位球面上で定義された関数であれば、正のときに進行波解または定常解が一意に存在すること、符号変化する場合は部分的ではあるがある条件下では解が一意に存在することを証明した。また、これらの進行波解および定常解は全て凸形状に限ることを証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
界面方程式の内側および外側に界面方程式を加えてその相互作用により、位相変化を避けるという当初の計画が困難であることがわかってきたので、外力に着目し、その影響下での進行波解および定常解の存在について議論を行った。現在までは外力が単位球面上で定義された関数として扱っており、これらの解は全て不安定であることがわかった。従って、外力の条件を変えない限りすべての解は位相変化が生じうることが確認できた。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、外力の条件をより一般的なものにして、界面方程式が安定化するための条件を探しだす。また、非凸形状を持つ進行波解の構成などを行っていく。一方で、3次元以上の高次元で界面方程式を考察した場合、どのような結果が得られるのかを考察していく。
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Research Products
(6 results)
