2018 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis and construction of interface equation without self-intersections
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15K17595
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
物部 治徳 岡山大学, 異分野基礎科学研究所, 特任准教授 (20635809)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 界面方程式 / 完全非線形放物型方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では自己交差を起こさない界面方程式の導出及び性質を調べる研究を行なった。まずは、Jordan曲線として与えられている界面がどのような状況下で自己交差を起こすか調べるために、外力との関係を調べた。具体的には、コンパクトな進行波解の構成などを行ってきた。外力が正の場合、及び符号変化する場合を考察し、適当な条件を課すことで進行波解が一意に存在し、その形状は凸になることを示した。なお、この条件は年度を追うごとに改良を行うことができた。しかしながら、得られた結果は特殊解であるため、一般的な初期値に関する結果は得ることが出来なかった。また、研究を進めることで本プロジェクトで目標に掲げていた自己交差を起こさない界面方程式の導出は、外力の影響に強く影響を受けることがわかり、想定した状況より複雑で難しいことがわかった。そこで、最終年度は研究の方向性を修正して、外力ではなく拡散の影響を調べることにし、拡散の非線形性を調べた。ここでは、結晶成長に関連するMullinsによって提唱された指数型の曲率を持つ界面方程式に着目した。まずは、初期条件がJordan曲線の場合を考察し、初期値が凸であれば、曲線は全て自己交差を起こさないことや比較原理など基本的性質を確認した。次に、非線形拡散の影響をより詳しく調べるために、曲線がグラフ表示されている場合を扱った。ここで、境界条件としては非斉次ノイマン条件を課し、解の漸近挙動を調べた。その結果、対応する方程式に対して平面波、V字型進行波、逆U字型進行波の３つが存在し、解は境界条件によってそのどれかの一部分の形状に近づくことを示した。
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