2017 Fiscal Year Annual Research Report
Studies on verified numerical computations for nonlinear parabolic partial differential equations
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15K17596
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
高安 亮紀 筑波大学, システム情報系, 助教 (60707743)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 精度保証付き数値計算 / 爆発問題 / 非線形発展方程式 / ケラー・シーゲル方程式系 / 数値解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度までの研究成果により，非線形放物型方程式に対する解の精度保証付き数値計算法はほぼ確立された．これは解析半群および発展作用素を利用する精度保証付き数値計算方法で，解の時間局所包含と解の存在時間の延長を繰り返すことにより，ある程度長時間にわたる解の検証が可能となった．さらに，斉次的な非線形項をもつ常微分方程式系の初期値問題に対して，解がある時刻で発散する爆発問題に対する精度保証付き数値計算を用いたアプローチが提案できた．
本年度はこのような研究成果をもとに偏微分方程式の爆発問題に挑戦し，精度保証付き数値計算を用いる解析を研究課題とした．研究成果として，爆発問題を精度保証付き数値計算で扱える微分方程式のクラスを拡げることに成功した．
これまでのアプローチは斉次的な非線形項をもつ常微分方程式系に対して，時空間の特異性解消により精度保証付き数値計算を利用する爆発時刻の厳密包含を可能にしていたが，非線形項が斉次的であるという条件が課されていた．本年度は擬斉次的な非線形項という拡張された非線形項のクラスに対して，「擬斉次コンパクト化」という空間特異性解消方法を提案し，これを利用した爆発時刻の厳密包含を精度保証付き数値計算によって実現した．本研究成果の応用例として，放物-放物型のケラー・シーゲル方程式系の有限体積近似による半離散近似解の有限時間爆発を証明し，爆発時刻の厳密包含を得た．本成果は放物-放物型のケラー・シーゲル方程式系の爆発問題を精度保証付き数値計算を利用して扱った初めての成果である．
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