2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K17719
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
桂 法称 東京大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80534594)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | トポロジカル相 / 正弦２乗変形 / 指数定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
量子多体系やトポロジカル相に対して、主に数理物理的観点からアプローチし研究を行った。本年度の成果として、以下の３つに関するものが挙げられる。(1) 相互作用するマヨラナフェルミオン系の基底状態とトポロジカル秩序、(2) サイン二乗変形と超対称性量子力学、(3) 乱れたトポロジカル絶縁体と非可換指数定理。
(1) １次元p波超伝導体のKitaev模型は、そのトポロジカル相で、マヨラナフェルミオンの端状態が現れることが知られている。この模型に粒子間相互作用を導入した模型を調べ、相図中のあるラインで、基底状態が厳密に求まることを示した。またエネルギーギャップの存在を証明し、縮退した２つの基底状態の間を結ぶマヨラナ演算子の具体系を求めた。
(2) １次元の量子臨界系にサイン二乗変形と呼ばれる空間変調を施した場合、多体の基底状態が一様周期系の基底状態とほぼ一致するということが、これまで多くの例で確認されている。この対応関係を、最も基本的な例である１次元連続空間中の自由フェルミオン系について、超対称性量子力学を用いて定式化し示した。また副産物として、この系の１粒子固有関数が、Gegenbauer多項式を用いて表せることを明らかにした。
(3) トポロジカル絶縁体は、その非自明なトポロジカル数で特徴づけられるバンド絶縁体であるが、乱れがあり波数が良い量子数でない場合には、トポロジカル数の定義は自明ではない。本研究では、乱れのある２次元の時間反転対称なトポロジカル絶縁体(class AII)に対するトポロジカル数を非可換幾何の手法を用いて定義した。また、このトポロジカル数の時間反転対称な摂動に対する安定性を示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本研究の２つの大きなテーマは、１．強相関系・ボゾン系におけるトポロジカル相、２．空間変調した１次元量子系の代数的解析、であるが、それぞれに対して大きな進展があった。
テーマ１については、相互作用を導入したKitaev模型においてはじめて厳密に基底状態が求まる場合があることを明らかにしたという点で、意義のある結果である。対応するスピン系では、同様な結果は古くから知られていたが、本研究ではさらにエネルギーギャップの存在を証明しており、その点はスピン系の観点からも新しい結果と言える。（証明方法も、既存のものとは異なる、本質的に新しいものである。）
テーマ２については、サイン二乗変形と超対称性量子力学との関係を発見し、さらに最も基本的な系である自由フェルミオン系について、１粒子固有関数を完全に明らかにした。研究代表者による先行研究で、サイン二乗変形と共形場理論との関係は明らかにしていたものの、非相対論的な連続系においてもそのサイン二乗変形は、代数的に豊かな構造を有しているという点は興味深い。また、先行研究で数値的に知られていた励起エネルギーのスケーリングなどについても、明確な理由を与えることに成功した。
さらに当初は予定していなかった、乱れのあるトポロジカル絶縁体に関する研究についても進展があった。これらの研究成果は、３編の原著論文として出版している。また、多数の学会・研究会で成果報告を行った。
これらを総合して、当初の目標以上の成果があったと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
28年度以降も、２つのテーマについて並行して研究を推進する。
１．強相関系・ボゾン系におけるトポロジカル相
マグノンなどのボゾン系のトポロジカル相や線形分散をもつ相についての研究を進める予定である。（自由）ボゾン系は（自由）フェルミオン系と異なり、一般に非ユニタリー行列を用いてハミルトニアンを対角化する必要があるために、今まで知られていなかった構造が隠れている可能性があると考えている。また数値的に調べる際に有用な方法論の開発なども行う。さらに次年度以降に備えて、相互作用のある場合のボゾン系・フェルミオン系のトポロジカル相の特徴づけに関する研究の調査も進める。
２．空間変調した１次元量子系の代数的解析
現在までの研究で、サイン二乗変形の数理的な背景はかなり明らかになってきている。28年度以降は、特に SL(2,R) と呼ばれる群構造の観点からサイン二乗変形を見直し、その共形場理論や超対称性量子力学との関係などについて詳しい解析を行う。また格子系について、ハミルトニアンと可換な演算子を求めることで、基底状態以外にも一様周期系とサイン二乗変形系で共通の固有状態が存在することを明らかにする。さらにこのような数理的な研究だけでなく、サイン二乗変形系の冷却原子を用いた実現についても考察を行う予定で、すでにデンマークのグループとe-mailでの議論を重ねている。
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| Causes of Carryover |
ほぼ全額を計画通り使用したが、少額の残金が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度以降に、書籍や少額物品の購入に使用する予定である。
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