2016 Fiscal Year Research-status Report
演算子変換による効率的で汎用的な新奇時間発展法の開発：3項間漸化式法
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15K17811
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
赤間 知子 北海道大学, 理学研究院, 特任助教 (60580149)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 効率的時間発展法 / ノルム保存 / ユニタリー性 / 非エルミート演算子 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、汎用的で効率的な時間発展法として、演算子変換により導出された3項間漸化式に基づく時間発展法(3項間漸化式法)を開発することを目的としている。 今年度は、下記の2つの研究を主に行った。
1. 3項間漸化式法のユニタリー性の検証：ユニタリー性を有する時間発展法は安定な時間発展が可能であるため、ユニタリー性を有するかどうかは時間発展法を評価する際の重要な観点である。ユニタリー性を有する場合、ノルムが保存する、逆向きの時間発展も可能であるという2つの特徴がある。昨年度までの研究から、3項間漸化式法では、ノルム誤差がほとんど出ないことがわかっていた。また、時間発展を記述する3項間漸化式を変形すると簡単に逆向きの時間発展の式が得られることを確認した。そこで、ユニタリー性について理論的に検証を行った。まず数値的安定性を検証するための式を導出し、演算子がエルミートである場合にはノルムが必ず保存する無条件安定であることを明らかにしたが、同じ式からユニタリー性を示すことはできなかった。しかし、3項間漸化式を導出する際に現れる余弦関数を使った式を合わせて考えることにより、3項間漸化式法がユニタリー性を有することを示すことができた。
2. 3項間漸化式法の理論的な拡張：前年度まではエルミート演算子の場合のみを想定していたが、今年度は非エルミート演算子の場合にも3項間漸化式法を拡張する研究を行った。最初はスケーリング係数に複素数を用いる複素スケーリングの方法を検討していたが、非エルミート演算子の固有値が複素数であることから、3項間漸化式を導出する過程で現れる指数関数、正弦関数、余弦関数等を複素関数に拡張して考えると、非エルミート演算子の場合も同様の式が導出されることがわかった。また、時間依存演算子の場合の3項間漸化式法の式の導出にも着手し、現在研究を進めている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成27年度中に提出した「産前産後の休暇又は育児休業の取得に伴う科学研究費助成事業（学術研究助成基金助成金）補助事業期間延長承認申請書」に記載した研究計画では、今年度中に、3項間漸化式法の理論的拡張として、非エルミート演算子及び時間依存演算子の場合へ拡張する研究を予定していた。
非エルミート演算子の場合については、まず予定通り複素スケーリングの方法を検討し、さらに来年度に予定していた指数関数や三角関数を複素関数として扱う方法も検討して、後者の方法で式が導出できることを明らかにした。また、時間依存演算子の場合についても式の導出に着手しており、定式化にはまだ至っていないが今後も引き続き研究を行う予定である。
また、当初は予定になかった3項間漸化式法のユニタリー性についても今年度検証を行い、ユニタリー性を有することを明らかにした。
以上の理由からおおむね順調に進展していると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、今年度の研究で途上となっている時間依存演算子の場合の3項間漸化式法の定式化に引き続き取り組む。これまでの研究に基づいて、3項間漸化式を確立し、プログラムを整備する。また、平成27年度中に提出した「産前産後の休暇又は育児休業の取得に伴う科学研究費助成事業（学術研究助成基金助成金）補助事業期間延長承認申請書」に記載した研究計画に沿って、非エルミート演算子や時間依存演算子の場合のプログラム実装と数値検証や、拡散方程式や反応速度方程式への応用の研究を進める。
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| Causes of Carryover |
平成28年5月に予定していた出張を体調不良(肺炎)のため見合わせたことと、図書・文房具等の一部の消耗品の購入を延期したため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
昨年度延期した図書・文房具等の消耗品の購入及び出張旅費、学会参加費等として使用する予定である。
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