2018 Fiscal Year Annual Research Report
Construction of quasi-Monte Carlo rules achieving high-order convergence with applications
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15K20964
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
合田 隆 東京大学, 大学院工学系研究科(工学部), 准教授 (50733648)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 準モンテカルロ法 / 高次収束 / リチャードソン補外 / 格子則 / テント写像 / 情報の期待価値 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度および一昨年度に確立した"extrapolation polynomial lattice rules"をベースとして、準モンテカルロ法へのリチャードソン補外の新たな応用可能性について模索した。これまでに知られる高次準モンテカルロ点集合の明示的構成法はJosef Dick氏による"digit interlacing"と呼ばれる方法のみであったが、各点の2進表現に高い精度が必要となるという課題があった。今年度の研究によって、リチャードソン補外を用いることによって、この2進表現に要求される精度を大きく削減できることを証明した。数値実験上でもその効果を確認し、一連の成果をIMA Journal of Numerical Analysisへ投稿、受理された。
研究期間全体を通じて、高次準モンテカルロ法に関する以下の代表的結果を示した。1) 滑らかな被積分関数に対する誤差収束の最適性の証明、2) 多項式格子則に基づく点集合の構成法（特に、リチャードソン補外の応用）、3) 古典的格子則へのテント写像の応用と理論。また、工学的応用として「部分完全情報の期待価値」という指標の推定に準モンテカルロ法を用い、従来よりも大きく計算コストを削減できることを経験的に示した。
本研究課題に対する以上の知見（特に1.の理論的内容）について、RICAM Special Semester "Multivariate Algorithms and their Foundations in Number Theory"で招待講演を行い、解説論文としてまとめた（"Recent advances in higher order quasi-Monte Carlo methods", arXiv:1903.12353）。
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