2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K21058
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| Research Institution | Kyushu Institute of Technology |
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Principal Investigator |
野田 尚廣 九州工業大学, 大学院工学研究院, 准教授 (10596555)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 三階の偏微分方程式系 / 微分式系の幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では、Darboux、Goursat、 Monge、 E. Cartan等によって構築された二階の偏微分方程式系の接触幾何学といういわば古典理論としての伝統を引き継ぎ、 高階とりわけ三階の偏微分方程式系の接触幾何学の構築ならびに展開を目的としている。研究代表者の研究実績として、以下のものが挙げられる。本研究プログラムの目的達成のための第一歩として、 まずは上記に述べた先人等による二階までの古典理論の三階への自然な移行ともいえる幾何学的枠組みを明確に定義し、 さらにその枠組みに沿って三階の偏微分方程式系の基礎理論を展開するという研究を、すっきりとした明瞭な形にまとめ上げることができた。具体的には二階の単独型方程式においてよく知られている双曲型、放物型、楕円型方程式に相当する方程式系のカテゴリーを階別冪零Lie環を用いて明確に表現し、特に単独型方程式(余次元1のケース)と3つの連立型方程式(余次元3のケース)という2種類の方程式のクラスに対して、このLie環によるカテゴリー分けを行うことで、これら三階の偏微分方程式系が与える世界を幾何学的観点から見通しの良いものにすることができた。この結果はカテゴリーごとに扱っている方程式系に対して、解の豊富な存在性、解空間の有限次元性などの特徴が得られるという意味で大変興味深いものと考えている。さらには上記に挙げた単独型方程式(余次元1のケース)と3つの連立型方程式(余次元3のケース)の間に幾何学的双対性があるという事実も発見することができた。本研究成果について研究集会で講演することで、当該分野の研究者からこの結果に関する質問やコメントを通して、今後の当該分野の研究展望も見えてきた。このような当該分野の研究者との活発な研究交流を通した研究の進展も実績と考える。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要においても述べたように、まずは研究遂行の第一歩としていわゆる基礎理論としての幾何学的枠組みもしくはそれを実現する幾何学的理論を明確に定式化し、それを研究結果として確立できたことは大変良かったと考えている。またこの論文を投稿するにあたりブラッシュアップ、いわゆる推敲作業において、いくつかの問題点が整理され、さらなる具体的課題が見つかった点もよかったと思う。このことは次年度以降の研究につなげていきたいと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
初年度において、いわゆる基礎理論として三階の偏微分方程式系の幾何学的理論を展開できたので、次年度はこの理論に基づいて、より明示的な結果を求めて研究活動を行っていきたい。具体的には、ある方程式系のカテゴリーに関する解の求積法を用いたアプローチならびに特殊なモデル方程式に対する解の構成、あるいは双対性を持つ異なる方程式のクラスに対してその双対性をより如実に見せるような関係性の導出、さらには初年度達成できなかった2つの連立型方程式系(余次元2のケース)についての意味のあるカテゴリーの発見とその幾何学的定式化といった諸問題について取り組んでいきたい。上記の課題はそれぞれ独立した興味深い方向性を与えていると思うが、どの問題にも共通することはその先に拡がっていることが期待される豊富な幾何学的世界を垣間見せるよい具体例(方程式)を見つけ、それをもとにできる限り一般的なクラスで理論を展開することである。したがって、まずは課題を実現する具体例を見つけることを目的として研究に取り組んでいきたい。
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| Causes of Carryover |
科研費申請後に就職が決まり大学を異動した。その影響で、当該年度は新たな赴任先(九州工業大学)での各種業務の遂行ならびに本学での環境に順応することを優先せざるを得なかったため、当初予定していた出張（特に長期の遠方への出張）などはできず、短期的な打ち合わせや研究成果発表のみの出張となった。これが主な要因である。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度の助成金使用計画として、赴任先(九州工業大学)において研究集会を開催し、当該分野をはじめとする関連分野の研究者を招聘し講演していただく事で、申請者の課題遂行にも関連するような有益な議論の場を設けたい。
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