2016 Fiscal Year Research-status Report
Project/Area Number |
15K21058
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Research Institution | Kyushu Institute of Technology |
Principal Investigator |
野田 尚廣 九州工業大学, 大学院工学研究院, 准教授 (10596555)
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Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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Keywords | 三階の偏微分方程式系 / 微分式系の幾何学 |
Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の目的は、微分方程式を幾何学的な立場から解析する偏微分方程式の接触幾何学という分野において、これまである一定の成果が得られている1階もしくは2階のケースの結果を参考に、より高階とりわけ3階の偏微分方程式の幾何学的解析を行うというものである。 当該年度においては、3階の偏微分方程式系の接触幾何学を展開するために、初年度で与えた幾何学的定式化(骨組み)を基軸に、その肉付けを与えることを目的として研究に取り組んだ。特に具体的な方程式系もしくはクラスで、定式化した理論と何らかの意味で相性がよいものを見つけることで、理論としての厚みが増すのでその点に留意した。結果としては、単独型方程式系と3つの連立型方程式系という一般的な方程式系において、前年度に与えた階別冪零Lie環を用いた4クラスへの分類に伴う各クラスのモデル方程式に関して、前年度は最も単純な線形方程式しか基本的にはモデル方程式として与えていなかったが、当該年度においてはそれを含むもう少し一般的な方程式系のクラスに拡張することに成功した。これは線形方程式系にある程度の項(具体的にはある種の関数)を付け加えても、その分類のモデル方程式として扱えるというある種の不変性を与えるものである。またこの分類において、特に単独型方程式の場合は、方程式の定義関数に対して定義することができる、ある種の二種類の共変式を用いれば、上記の分類との対応が計算できるということに気づいた。これらの結果は前年度の結果をまとめたプレプリントに一緒にまとめたほうが良いと判断したため、その論文を現在ブラッシュアップしている。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当該年度では、理論の肉付けを与えるような具体的な方程式系を与えるという意味において、若干一般化したある一定の方程式系のクラスを導くことができたものの、それら方程式系のクラスが各々の分類リストに属するという基本的な対応関係を除いては、それ以上の興味深い事実の発見、もしくはそれらを体系化するところまでは至らなかった。特に3つの連立型方程式系において、解の求積が可能と期待されるある方程式系のクラスがあるのだが、そのクラスにおいて幾何学的にも興味深い構造を与えてくれるだろうと期待させる、いわば雛形となる方程式を作ることには成功したのだが、計算の複雑性のため実際に解を構成することはできなかった。これは2階から3階にオーダーが上がることに伴って、計算するパラメーターの数が増えたことが原因である。このような事は、無論容易に想定されることではあるものの、実際に遂行してみると、予想以上に計算の複雑性が感じられ、ある程度単純な方程式に関しても解の構成が難しいと考えざるを得ないこととなった。したがって別方向のアプローチなど何か工夫をしないと、解の観点からの研究は難しいと感じさせられた。
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Strategy for Future Research Activity |
今後の研究課題としては、上記の進捗状況において述べた3階という高階性が与える複雑性、とりわけ解の構成に関して、何らかの進展をもたらすために、少し視点を変えて取り組み直したい。具体的には、これまでのように雛形となる方程式系を見つけてきてから、その解を構成しようとするのではなくて、線形方程式もしくはそれを若干摂動した方程式(準線形型のような)のような、なんとか解を求めることができる方程式系を用意しておいて、それを解込みで方程式を変換する接触変換を用いることで、解とともに興味深い方程式系を発見するという方向性を打開策として、研究が遂行できないか模索する。この目的のためには改めて接触変換というものを多角的な立場から見直す必要があると考える。したがって、古典理論の再考という意味において、1階もしくは2階での接触変換の明示的構成とその解析的もしくは幾何学的性質について、包括的な立場から見直すことから検討していきたい。このような研究を試みる理由もしくは副産物として、当初の研究課題である3階の方程式系だけでなく、これまである一定の研究成果がもたらされている1階もしくは2階の偏微分方程式系に対しても、これまで得られていない新たな研究方向性もしくは関連する結果の提示が期待されるからである。この事柄に関しては、これまで共同研究を行ってきた広島大学の澁谷一博氏との共同研究も視野に入れて、活発な議論を交わすことで、研究課題に進展をもたらしたいと考えている。
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Causes of Carryover |
初年度において、所属機関の変更に伴い、研究活動の予定変更から余った経費が多くあり、それが当該年度の使用額として加算されたので、全額は使わなかった。
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Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度は、所属機関において去年度から開催している北九州幾何学研究集会の開催費に使用するとともに、さらに他大学の共同研究者等と計画している研究集会の開催費にも当該経費を使用するなどして、活発な研究交流に研究費を有効活用してきたい。
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Research Products
(1 results)