2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K21369
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
曽我 幸平 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 講師 (80620559)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Hamilton-Jacobi方程式 / Hamilton力学系 / 弱KAM理論 / Navier-Stokes方程式 / 差分法 / 収束証明 / 誤差評価 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は次の２項目からなる: 1. 保存則方程式/Hamilton-Jacobi方程式(HJ)/Hamilton力学系(HS)の相互補完的解析，2.流体現象の数理モデリングとその数学解析/数値解析．
1.に関して: discount項をつけたHamilton-Jacobi方程式(dHJ)の一意的粘性解が，discount項を０にする極限で，(HJ)の粘性解(一般に非加算無限個ある)のどれに収束するかという問題が最近解明された．２８年度の研究を通して，この極限の収束率を解明するための枠組みを与えると同時に，実際に収束率をいくつかの例に対して与えた．新たな枠組みとは，弱KAM理論をminimizing curveのα極限点の族から再構築して，その議論をdiscount項付きの問題に対して同様に展開するというものである．これによって，(dHJ)及び(HJ)を対応する力学系の性質を用いて詳しく調べることが可能となり，収束率というデリケートな問題に対応できた．以上の結果は論文として投稿中である．同様の問題は，(HJ)の粘性近似や差分近似でも現れるが未解明である．本結果は，これらの場合を考察する上で重要な手掛かりの１つになる．
2.に関して: 流体の基礎方程式系の解の構成的存在証明及び数値計算を行うために，いくつかのよく知られた数値解析的方法についてservayした．その中で，Chorinのprojection methodと呼ばれる良く知られた方法に注目し，その数学解析を開始した．本方法の収束について，十分滑らかな解が存在するときに証明は与えられているが，そうでない場合は未解明である．２８年度の研究を通して，本方法がLeray-Hopfの弱解に収束するか否かという問題を考察中である．この議論は研究目的の１つである「粒子法」の数学解析の基礎となるものである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
1.に関しては，論文としてまとめて学術誌に投稿するに至る結果を得たと同時に，今後の弱KAM理論の研究に役立つであろう概念・理解を得た．2.に関しては，論文としてまとめるには至っていないが，今後の研究の進展に必須となる基礎概念の整理が順調に進んでいる．以上の理由により，研究はおおむね順調に進んでいると判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
1.に関して: discount近似で得られた結果をヒントとして，粘性近似及び差分近似に対する同様の問題を解決するための糸口を探る．この際，discount問題で重要な役割を果たすα極限点の集合とMather測度に関する考察が重要になると予想される．また，古典KAM理論と弱KAM理論をつなぐための基礎研究を行う．ここでは，古典KAM理論で基本となる正準変換による逐次近似及び(HJ)で基本となるdiscount近似それぞれに立ち返る．
2.に関して: Chorinのprojection methodについて，近似の収束証明を完成させる．この考察を基礎として，粒子法の数学解析を開始する．粒子法がどのようなクラスの解に対して有効であるのか明らかではないので，projection methodが機能する解クラスから解析を始める．
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| Causes of Carryover |
購入した計算機の価格が想定より若干低かったため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
直接経費の予定額内訳は２８年度と同じである．物品費に関しては，主に書籍および計算機周辺機器・ソフトウェア購入費に充てる．旅費に関しては，国内外での研究発表/討論のための出張費に充てる．２８年度の若干の残額は，旅費として使用する予定である．
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