2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K21369
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
曽我 幸平 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 講師 (80620559)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 粘性解 / Navier-Stokes方程式 / discount 近似 / 有限差分法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、(i) 保存則方程式(CL)/Hamilton-Jacobi方程式(HJ)/Hamilton力学系の相互補完的解析、(ii)流体現象の数理モデリングとその数学解析/数値解析 の二項目から成る。
(i)に関して: 一次元(HJ)のdiscount近似の収束率を上から評価する結果を得ていたが、その下からの評価を得ることにも成功した。また、KAMトーラスを生成する特別な場合に対する上からの評価も、(HS)を用いた議論を通して得ることに成功した。これらは、discount近似の収束率に関する一般論を構築する足がかりとなるものである。結果は専門誌 Calculus of variation and PDEs に掲載される予定である。(HJ)の初期値問題の有限差分近似を確率論および変分法によって行なう研究が研究代表者によって始められ、空間一次元問題に対しては弱KAM理論への応用も含めて詳細な結果が得られている。これを一般空間次元の問題に拡張する試みが研究代表者によってなされており、(HJ)の粘性解およびその微分両方に対する収束証明が「初期値はsemiconcave」という仮定の下で得られていた。この仮定を外すことに成功した。これは、有限差分近似の長時間挙動を調べる上で必須の結果であり、弱KAM理論への応用にも道が開かれた。結果は専門誌に投稿中である。
(ii)に関して: Chorinは、projection methodによって、周期境界条件を持つNavier-Stokes方程式のC^5級解の有限差分近似とその誤差評価を示した。この結果の拡張に成功した。すなわち、一般の有界領域における０境界条件の下、projection methodがLeray-Hopfの弱解に収束することを示した。有限差分法において、弱収束から強収束を示す新しい方法を示したことも大きな成果である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究期間内に明らかにする事項」で述べた項目の解明には、その前提となる研究も必要となる。研究実績の概要で述べたように、現在までの研究を通して、準備的結果も含めて着実に成果を出してきた。このことから、研究はおおむね順調に進展していると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
(i)に関して: 一般次元の(HJ)に対する、確率論と変分法による有限差分法の結果を用いて、弱KAM理論の近似理論を構築すると同時に、有限差分法に対する選択問題の定式化・解明を進める。台湾で開催されるAIMSの学会にて、本結果を報告し、専門家との討議も行なう。
(ii)に関して: projection method のLeray-Hopfの弱解への収束に関する結果をまとめ、５月にドイツで開催される国際会議で報告する。この方法論をより複雑な流体力学の方程式系に応用する研究を進める。
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| Causes of Carryover |
本研究課題に密接に関連した海外の国際研究集会において最新の情報を収集した上で研究成果をとりまとめる予定であったが、諸事情(その他の業務の多忙)により平成２９年度の海外出張を取りやめた。その結果、本年度経費に未使用額が生じた。平成30年度に成果報告および情報収集のために海外出張を行う予定である。
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Research Products
(2 results)
