2018 Fiscal Year Annual Research Report
Applied analysis for nonlinear problems
| Project/Area Number |
15K21369
|
|---|
| Research Institution | Keio University |
|---|
Principal Investigator |
曽我 幸平 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 専任講師 (80620559)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
|
| Keywords | 弱KAM理論 / Navier-Stokes方程式 / Leray-Hopfの弱解 / 差分法 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、（i）保存則方程式(CL)/Hamilton-Jacobi方程式(HJ)/Hamilton力学系の相互補完的解析、（ii）流体現象の数理モデリングとその数学解析/数値解析 の二項目からなる。
（i）に関して：本研究を通して、一般空間次元における(HJ)の初期値問題に対する粘性解を差分法で構成する方法を発展させた。この方法を基礎として、差分化された(HJ)に対する弱KAM理論の構築に取り組んだ。現在、粘性項やdiscount項のついた(HJ)に対する弱KAM理論は知られているが、差分化された(HJ)に対する弱KAM理論は発展途上である。特に、空間次元が２以上の場合は全く取り扱われていない。最終年度の研究を通して、必要となる新しい概念を整理すると同時に、空間１次元の場合との相違点を明らかにした。また、測度論的な取り扱いについても考察し、Mather測度の類似物をどのように定義すれば良いか明らかにした。今後、差分化の極限についても詳しく解析し、標準的な弱KAM理論の別証明も与える形で、これらの成果をまとめる予定である。
（ii）に関して：本研究を通して、Chorinのprojection methodを発展させ、Navier-Stokes方程式に対する初期値問題のLeray-Hopfの弱解を構成する新たな差分近似法を得た。最終年度の研究を通して、この方法をより汎用性の高いものにするために、エネルギー評価の精密化と差分法の時間大域的な可解性について考察した。この結果により、例えば、エネルギーの大きさに無関係に時間周期解をLeray-Hopfの弱解のクラスで差分法によって構成可能となった。今後、時間周期解の安定性および分岐解析に応用する予定である。
|
