2016 Fiscal Year Research-status Report
数値的条件の悪い非線形最適化問題に対する安定した求解手法とソルバの開発
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15K21522
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| Research Institution | Kansai University |
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Principal Investigator |
檀 寛成 関西大学, 環境都市工学部, 准教授 (30434822)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 非線形最適化 / 多倍長精度計算 / ソルバ / 自動微分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では，数値的条件の悪い非線形最適化問題 (NLP) を安定して求解するための手法を開発することを目的としている．そのために，本研究では，《目標 1》多倍長精度計算可能な NLP ソルバ（NLP を解くためのソフトウェア）の開発，《目標 2》数値的条件の悪い NLP の持つ特徴の分析と悪条件を克服する手法の開発，という 2 つの目標を設定している．
平成 28 年度は，主に以下の 2 点について成果を得た：【H28 年度実績 1】Maratos 効果が生じる問題例に対する数値的検証（《目標 2》に寄与），【H28 年度実績 2】2 階微分可能な自動微分ソフトウェアの実装（《目標 1》に寄与）．
【H28 年度実績 1】平成 27 年度に実装した NLP ソルバを用い，逐次二次計画法で生成される点列の収束が遅くなる典型的な例である Maratos 効果について，求解アルゴリズムの数値的挙動を調べた．従来，論文・教科書等におけるMaratos 効果についての記述は理論的な結果の紹介に終始しており，数値的挙動を分析している例は見当たらない．今回，本研究課題で開発した NLP ソルバを用いて Maratos 効果の生じる例を詳細に調べたところ，最適解の近傍では，Maratos 効果が生じる可能性が減少することを確認した．この結果は，多倍長精度計算を用い，現象を詳細に調べたことで得られたものである．
【H28 年度実績 2】平成 27 年度に開発した（多倍長精度計算可能な）自動微分ソフトウェアでは，1 階微分のみが可能であった．しかし，NLP の求解アルゴリズムでは，目的関数や制約条件の 2 階微分が必要なものもある．そこで平成28 年度は，平成 27 年度に開発した自動微分ソフトウェアを 2 階微分可能となるよう機能拡張を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の申請時に示した研究計画は以下の通りである：【平成 27 年度】(1-a) 多倍長精度計算を用いた逐次二次計画法（SQP 法）の実装（※《目標 1》に寄与），(1-b) 倍精度計算と多倍長精度計算の切り替え手法の開発（※《目標 1》に寄与）．【平成 28 年度・平成 29 年度】(1-c) 多倍長精度計算を用いた計算グラフ・自動微分の開発（※《目標 1》に寄与），(2-a) 数値的条件の悪い NLP の持つ特徴の抽出（※《目標 2》に寄与），(2-b) 数値的悪条件を克服する手法の開発（※《目標 2》に寄与）．
これらの研究計画のうち，項目 (1-a), (1-c), (2-a) については平成 28 年度までに概ね達成した．特に平成 28 年度に達成したのは (1-c) の一部，ならびに (2-a) である．(1-c) は，「研究実績の概要」で述べた「2 階微分可能な自動微分ソフトウェアの実装」，(2-a) は「Maratos 効果が生じる問題例に対する数値的検証」がそれに相当する．
なお，平成 27 年度までに達成する予定であった (1-b) についてはまだ開発することができていないが，これは (2-a) でよい結果が得られたため，こちらの研究を優先的に行ったことによるものである．
現在までの成果により，平成 29 年度に予定をしている (2-b) に着手することが可能である．また (1-b) はこれまでの成果とは独立に取り組むことができる内容である．これらの状況を総合的に判断すると，研究課題全体としてはおおむね順調に進めることができていると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成 29 年度は，「現在までの進捗状況」で示した (1-b), (2-b) について取り組む．(1-b) が達成できれば，多倍長精度での計算を限定できるようになるため，計算時間の短縮を期待することができる．また (2-b) が達成できれば，それを本研究で開発している NLP ソルバに組み込むことにより，従来よりも安定して最適解を求めることができるようなソフトウェアを提供できるようになる．
このうち，(1-b) については，最適解への収束度合いを観測しながら，ある程度最適解に近づいたと判断されるところで倍精度から多倍長精度に切り替えるという単純なアイデアを元にし，切り替えのしきい値を調整するようなことが考えられる．これについては，多数の問題を解き，その結果からパラメータを調整するということも視野に入れている．
また (2-a) については，平成 28 年度に行った数値実験で得た知見を利用することを想定している．すなわち，最適解の近傍では Maratos 効果が生じにくくなるようであることから，求解途中にある種の摂動を加えることにより，この現象を回避できる可能性があると考えている．ただし，収束速度を落とさないように摂動を加減してやる必要もある．この理論的な分析については，既存研究が利用できるものと考えている．
なお，今年度は本研究課題の最終年度であるため，成果物を広く公開することも想定して研究を進めるつもりである．
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| Causes of Carryover |
他の研究集会と重なってしまい参加を断念した研究会があったため，次年度使用額が生じた．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
本研究に関するアドバイスを頂く機会を増やすため，国内旅費を増額することを想定している．
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