2006 Fiscal Year Annual Research Report
2次元結び目解け予想の解決と数学の真髄の初等的探求
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16340017
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
松本 尭生 広島大学, 大学院理学研究科, 教授 (50025467)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
鎌田 聖一 広島大学, 大学院理学研究科, 教授 (60254380)
河内 明夫 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00112524)
松本 幸夫 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (20011637)
永井 敏隆 広島大学, 大学院理学研究科, 教授 (40112172)
若木 宏文 広島大学, 大学院理学研究科, 教授 (90210856)
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| Keywords | 2次元結び目 / 2次元ブレイド / マルコフ型定理 / チャート表示 / チャート表示の変形 / 解け予想 / カスプ / 初等的手法 |
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| Research Abstract |
結び目が解けるための必要十分条件は、2次元滑らか結び目以外に関しては既に良く知られている。本研究は2次元滑らか結び目に対しても同じ条件、つまり補空間のホモトピー型が自明な場合と同じという条件が、結び目が解けるための必要十分条件であることを示そうという研究である。さらに、その初等的手法による解決を契機として、研究分担者とともに数学の真髄の初等的探求を行おうという試みである。
以前からの研究によって、交点を許した2次元結び目の1-助変数族を構成することができている。それを2次元ブレイドの1-助変数族に変換するところがマルコフ型定理であって、まずそれを示すことが必要であるが、基本的なアイデアは交点のない場合と同じであり、論文執筆中である。
一方、こうしてできた特異2次元ブレイドの1-助変数族をチャート表示することも、素直に考えることによって、安定化とその逆及び適当なフュージョン・ヒッションによって表現できることが判明した。しかし、1-助変数族が単純な特異2次元ブレイドのみでないことからくる困難は大問題であった。これに対し、まずは変形全体の安定化を図った後、交点の1-助変数族である交線に沿って最高次の自明線分をカスプの直前まで下げてくることが可能であることがやっと説明でき、この大問題に関する困難が期待以上の単純さで解決できた。これが今年度の研究の大きな進展であり、2次元滑らか結び目解け予想の解決をほぼ成し遂げたことになる。実際、カスプの生成と消滅の間が近づいたことと一端が自明な結び目であることを用いて、カスプの現れている時間帯の前後が同等であることを比較的簡単な初等的手法で示すことができるはずである。すると、交線の成分数を一つ減らすことができ、数学的帰納法によって、1-助変数族を途中で自己交差がない形に変形でき、しかるべき条件を満たす結び目が自明であることが証明できる。
予想の解決に時間がかかり、研究計画の後半部分は各研究分担者が準備を行った段階である。
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