2006 Fiscal Year Annual Research Report
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16340019
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
岡 睦雄 東京理科大学, 理学部, 教授 (40011697)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
寺尾 宏明 北海道大学, 大学院理学研究科, 教授 (90119058)
諏訪 立雄 新潟大学, 工学部, 教授 (40109418)
島田 伊知朗 北海道大学, 大学院理学研究科, 助教授 (10235616)
徳永 浩雄 首都大学東京, 都市教養部理工系, 教授 (30211395)
真田 克典 東京理科大学, 理学部, 教授 (50196292)
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| Keywords | Alexander多項式 / tangential Alexander多項式 / non-reduced degeneration / 交点数 / ザリスキー対 / ヤコビアン予想 |
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| Research Abstract |
今年度の研究は主として、
(1)平面曲線の多重度を含んだ退化$C_t->D+mL$のような場合の基本群の研究とAlexander多項式の研究。
(2)曲線の滑らかな点でのテイラー展開とアレクサンダー多項式の研究。
(3)ヤコビアン予想の周辺の問題整理。
(1)に関しては、d次の平面曲線が、k次の曲線とm重の直線に退化する場合の研究、a次の変曲点が)a+1)次の変曲点に退化するとき、基本群$pi_1(P 2-Lcup c_t)$と$pi_1(P^2-L-D)$の関係を調べ、自然な全射$pi_1(P^2-L-D) to pi_1(P^2-L-C t)$が存在することなどを示し、その応用として対応するAlexander多項式の関係を研究した。その結果はイタリアのICTPの「特異点スクール」のプロシーディングに発表した。またこの結果は4次曲線で特別な接線を無限直線にとって基本群を調べると、アレクサンダー多項式が自明でない場合がいかに出てくるかすべて、退化の視点から説明できる。
また昨年度に研究したtangential Alexander多項式との関係も明らかにすることができた。
(2)に関しては研究を始めてまだ数ヶ月である。D次曲線が二つの一点で接している状況を考えると、$C={f(x, y)=0},D={g(x, y)=0}$で原点でせっしているとしてまずy=phi(x),y=psi_(x)と陰関数定理を使ってとき、それらをテイラー展開を考える。交点数が$d2$がいうことはテイラー展開が$x{d^2-1}$まで一致していることを意味している。
この様な観点から{d次の2変数多項式の}→{{d^2-1}次の1変数多項式の空間}の研究が重要となることがわかる。このような設定で$Ccup d$のトポロジーが少なくとも2種類あることがわかった。(ザリスキー対)。この結果は2007年1月、メキシコのCuernavacaでの特異点国際会議で発表した。
(3)に関しては新しい結果はないけれど、昨年10月ハノイのヤコビアン予想と関連する話題の国際会議があり、小生の20年まえの結果を現代的視点から再考察した、講演をした。またこの講演録をプロシーディングに発表する予定である。
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