2006 Fiscal Year Annual Research Report
応用逆問題・非適切問題に対する新しい数値解析手法の確立
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16340024
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| Research Institution | KYOTO UNIVERSITY |
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Principal Investigator |
磯 祐介 京都大学, 情報学研究科, 教授 (70203065)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
若野 功 京都大学, 情報学研究科, 講師 (00263509)
藤原 宏志 京都大学, 情報学研究科, 助手 (00362583)
東森 信就 京都大学, 情報学研究科, 研究員 (10397573)
西村 直志 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90127118)
西田 孝明 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70026110)
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| Keywords | 応用数学 / 逆問題 / 非適切問題 / 数値解析 |
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| Research Abstract |
本課題研究では、偏微分方程式で記述されるような現象の逆問題を視野に入れ、大規模非適切問題の数値解析実現を目指して大規模かつ高精度な数値計算の実現に向けた取り組みを行っている。特に平成18年度は、平成17年度に引き続き、スペクトル要素法による数値解析のアルゴリズムの提案と、スーパーコンピュータ向けの多倍長数値計算環境の設計と実装をおこなった。
逆問題の数値シミュレーションを含む科学技術数値計算では、一般には浮動小数点演算によって実数の近似と演算がなされている。今日ではIEEE754の基準により定義される倍精度方式が一般的に利用されており、いわゆる数値計算のエンドユーザの利用する計算環境では10進法で約15桁の精度で近似された実数表現が前提となっている。このため計算機上では実数を厳密(exact)に扱うことは不可能であり、さらに微分方程式などの数値計算では離散化によって離散化誤差も混入する。
逆問題で代表される非適切問題(ill-posed problems)の数値計算では、問題の非適切性と種々の誤算が混入する計算環境全体を視野に入れた議論を行わねば、信頼できる高精度数値計算を行うことは殆んど不可能である。例えば数値的に不安定なスキームによる数値計算では、丸め誤差と離散化誤差が計算過程において急激な増大によって数値計算が破綻することが知られており、数学上の近似理論とその計算を実行する計算環境の関係についての精密な議論が新しい計算手法の確立には不可避と考えている。
以上のような理由から、打ち切り誤差の観点から高精度な離散化誤差への対処としては、チェビシェフ多項式系を利用するスペクトル要素法に着目し、非適切問題におけるこの離散化手法有効性を示した。例としてはKressの方法による逆散乱問題を取り上げ、下記の特殊函数の高速化も含めて数値的検証を行った。
計算環境の整備の点では、特に数値計算の利用者にFortranユーザと、特殊函数の利用が多いことを考慮し、Bessel函数等の特殊函数の組み込み函数化について設計と実装をおこなった。
なお、この分野での中華民国(台湾)の研究者との研究交流を図るため、平成19年2月に中華民国中央研究院数学研究所において、日台共同セミナーを開催した。
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