2006 Fiscal Year Annual Research Report
完全非線形方程式の粘性解理論とその新たな展開に関する研究
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16340032
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
小池 茂昭 埼玉大学, 大学院理工学研究科, 教授 (90205295)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 仁司 早稲田大学, 教育総合科学学術院, 教授 (70102887)
森本 宏明 愛媛大学, 大学院理工学研究科, 教授 (80166438)
長井 英生 大阪大学, 大学院基礎工学研究科, 教授 (70110848)
三上 敏夫 北海道大学, 大学院理学研究院, 助教授 (70229657)
石井 克幸 神戸大学, 海事科学部, 助教授 (40232227)
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| Keywords | 粘性解 / 完全非線形方程式 / 退化楕円型方程式 / 一様楕円型方程式 / 変分法 / ハルナックの不等式 / 数理ファイナンス / 最適制御 |
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| Research Abstract |
(1)Swiechとの共同研究で、非有界関数を係数や非斉次項に持った完全非線形2階一様楕円型・放物型偏微分方程式の最大値原理に関して幾つかの結果を得た。特に、1階微分に関し1次以上の増大度と非有界係数を持つ場合や、さらに、1階微分に関し1次未満の増大度を持つ場合の研究を継続して行っている。更に、同様の条件下でヘルダー連続性の評価の研究を続けている。また、古典論における最大値原理の結果は完全には粘性解理論でカバーできていないので、古典論の結果が成り立つための十分条件を模索中である。
(2)森本氏と坂口氏の共同研究で、数理ファイナンスに現れる変分不等式の粘性解の微分可能性を高めることで、最適フィードバック制御を構成した。具体的に最適フィードバック制御を構成するにあたって、ペナルティー法による近似方程式の近似解の微分可能性を高めることが重要であり、非線形偏微分方程式のregularityを導く幾つかの方法を駆使して結果を得た。さらに、同種の問題の発展方程式版について研究を継続している。
(3)Perronの方法による粘性解の存在定理をLP粘性解の場合に修正版Perronの方法として確立し、ポテンシャル論におけるPerronの方法との関連に関して研究した。修正版Perronの方法は、従来とは違い「上限」をとる関数族を連続関数に絞っており、そのために石井氏によるPerronの方法の証明を修正する必要があった。しかし、このおかげで、可測係数を持った一様楕円型方程式の、この方法で構成された粘性解のヘルダー連続性が得られるなど利点は大きい。
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