2007 Fiscal Year Annual Research Report
完全非線形方程式の粘性解理論とその新たな展開に関する研究
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16340032
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
小池 茂昭 Saitama University, 大学院・理工学研究科, 教授 (90205295)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 仁司 早稲田大学, 教育総合科学学術院, 教授 (70102887)
森本 宏明 愛媛大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (80166438)
長井 英生 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 教授 (70110848)
三上 敏夫 広島大学, 大学院・工学研究科, 教授 (70229657)
石井 克幸 神戸大学, 海事科学部, 准教授 (40232227)
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| Keywords | 粘性解 / 完全非線形方程式 / 退化楕円型方程式 / 一様楕円型方程式 / 変分法 / ハルナック不等式 / 数理ファイナンス / 最適制御 |
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| Research Abstract |
(1)Swiechとの共同研究で,非有界関数を係数や非斉次項に持った完全非線形2階一様楕円型、放物型偏微分方程式のLp粘性解の最大値原理を得たことにより,弱ハルナック不等式を示した。この結果,Lp粘性解のヘルダー連続性や非有界領域での最大値原理などへも応用が可能になった。更に,この結果,非有界関数を1階微分係数に持つextremal方程式のLp強解の存在を示した。このことから,更に一般の場合の弱ハルナック不等式の研究につながることが期待できる。
また,Lp強解ならばLp粘性解になることと,Lp粘性解がW2,pに属すれば,Lp強解になることを一般の完全非線形楕円型方程式で示した。これは,当然期待された結果であったが,全く知られていない結果であり,Lp粘性解理論の基本的な結果となった。ここでも,我々の作った「逐次比較関数法」を精密に使うことが本質的であった。
(2)森本氏と坂口氏の共同研究で,数理ファイナンスに現れる変分不等式の粘性解の微分可能性を高めることで,最適フィードバック制御を構成した。具体的には,アメリカン、オプション価格決定などに現われる変分不等式を扱うが,主要項が臨界非線形項を持つため通常の非線形偏微分方程式の技法だけでは得られない。そこで,微分可能性を高めるため確率解析、局所最大値原理、ベルンシュタインの方法を用いて,ペナルティー法による近似方程式の近似解の評価を得た。現在,上記2名の研究者と,放物型変分不等式へと結果を拡張している
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