2004 Fiscal Year Annual Research Report
群作用をもつ多様体上の微分方程式系の研究とその応用
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16340034
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Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
大島 利雄 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50011721)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
織田 孝幸 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (10109415)
松本 久義 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (50272597)
寺田 至 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (70180081)
関口 英子 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (50281134)
小林 俊行 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (80201490)
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| Keywords | 完全積分可能系 / 戸田系 / 退化系列表現 / Whittakerモデル / ベキ零軌道 / 普遍包絡環 |
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| Research Abstract |
1.n変数のSchrodinger作用素で,最高階が各座標の偏微分の2乗の任意の基本対称式となる互いに可換な線形部分作用素をもつものを古典型ルート系に付随した完全積分可能量子系という.
この系は,Calogero-Moser-Sutherland系やHeckman-Opdam超幾何系を拡張したもののほか,境界条件付きの拡張有限戸田系などを含む広いクラスとなる.
これらの分類を行って各微分作用素の具体型を与え,完全積分可能性を示し,それらの間の関係と一意性などの結果を得た.特にポテンシャル関数が楕円関数で与えられるものは,対称性が高く,他のものはそれから適当な極限操作により得られることを示した.さらに,古典極限をとることにより,完全積分可能力学系とその高次積分の具体型も与えた.
2.実簡約Lie群の退化系列表現の退化Whittaker実現を考察するため,捻れHarish-Chandra写像を定義し,その像を調べることにより,Lie群がquasi-splitの場合に代数的実現と緩増大実現の重複度を与える公式を得た.
これは,幾何学的なベキ零軌道の解析に帰着され,GL(n)においてはYoung diagramあるいは自然数の分割のdualの概念で記述でき,一般の場合はその概念を拡張することによってWeyl群とルート系の言葉に翻訳される.
さらに,K有限ベクトルの動径成分の満たす微分方程式を具体的に与えた.
特に退化系列表現を誘導する放物型部分群のベキ零部分が可換ならば,Whittakerベクトルが古典的なWhittaker関数によって具体的に表せることを示した.
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