2006 Fiscal Year Annual Research Report
楕円リー(超)代数、アフィン超リー代数およびその量子群の表現論
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16540026
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
山根 宏之 大阪大学, 大学院情報科学研究科, 助教授 (10230517)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
日比 孝之 大阪大学, 大学院情報科学研究科, 教授 (80181113)
川中 宣明 大阪大学, 大学院情報科学研究科, 教授 (10028219)
伊達 悦朗 大阪大学, 大学院情報科学研究科, 教授 (00107062)
永友 清和 大阪大学, 大学院情報科学研究科, 助教授 (90172543)
三木 敬 大阪大学, 大学院情報科学研究科, 助教授 (40212229)
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| Keywords | 楕円リー代数 / 楕円リー超代数 / 楕円量子群 / スーパー量子群 / Z / 3Z量子群 / コクセター群 / コクセター群半群 / 半群の語問題 |
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| Research Abstract |
本研究では、主につぎの結果を得た。
山根はコクセター半群(亜群)と松本の定理(Heckenbergerとの共同研究;math.QA/0610823にてアナウンス済み)を得た。通常のコクセター群はワイル群の一般化である。ワイル群は単純リー代数のルート系に付随する概念である。ワイル群はルート系のルートの直交する超平面の鏡映によって生成される。重要な事実としてルート系のすべての基は、ワイル群によって移り会うという事が知られている。一方、単純スーパー・リー代数のルート系の基は必ずしも共役ではないが、奇鏡映を加える事によって互いに移りあう事が知られている。他方、1の冪根で定義される有限次元量子群とほぼ等価な概念として対角型ニコルス代数がある。Heckenbergerにより対角型ニコルス代数の分類の為にワイル亜群(半群)の概念が導入されていた。我々は、これらの概念をとりこむルート系の一般化を提案し、それに付随するコクセター半群を導入した。上記の概念をとりこむ為に我々のルート系の一般化の公理は内積を使わない。その代わりに、例えば、各単純鏡映は、対応する単純ルート以外の正ルートは別の正ルートに移す事を公理のひとつとしている。この公理よりコクセター半群の元の長さがその元が負ルートに移す正ルートの個数と同じである事を示した。この事により、コクセター半群が各単純鏡映の2乗が単位元になるという関係式とコクセター(ブレイド)関係式を定義関係式にもつ事を示した。さらにコクセター半群の同じ長さをもつ2つの元は、コクセター(ブレイド)関係式のみで移りあう事、すなわち松本の定理を示した。コクセター群の松本の定理はコクセター群が取替条件をみたす事により証明される。しかしながらコクセター半群は半群であるので通常の意味での取替条件をみたさない。我々は、弱取替条件により松本の定理を証明した。ここで弱取替条件とは2つの単純ルートが移りあうときは必ずディンキン図形上で隣ずつの単純ルートを経由して移りあうという事である。
三木はsl-2型のトロイダル量子群のボソンによる表現を調べることを通してW_{1+∞}代数の2変数q、γによる変形となる代数を定義していたが、この代数に関して、準有限表現、ボゾンによる表現のテンソル積表現とq変形されたW_N代数との関係などを調べた。
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