2007 Fiscal Year Annual Research Report
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16540078
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| Research Institution | Okayama University of Science |
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Principal Investigator |
山崎 正之 Okayama University of Science, 理学部, 教授 (70174646)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
西沢 清子 城西大学, 理学部, 教授 (90053686)
土屋 進 城にし大学, 理学部, 准教授 (60077914)
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| Keywords | 手術 / アセンブリ写像 / 指数 |
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| Research Abstract |
山崎は、制御手術完全列を作るために最も重要な道具であるアセンブリ写像について研究を行った。「アセンブリ」とはPL三角形分割をもつ多様体の各単体上に、その単体と同様な構造を持つポアンカレ2次複体が定まっているときに、それらを貼り合わせることにより、その多様体上の、小さな制御をもつポアンカレ2次複体を作る操作をいう。貼り合わせは、一気に行うことができない。また、単純にひとつひとつ貼り合わせていったのでは、途中でポアンカレという条件がみたされなくなってしまう可能性がある。現在試している方法は、PLな分割に対応するハンドル分解を考え、各ハンドルごとに貼り合わせを行い、それらを低い次元のハンドルから順に貼り合わせるというものである。各ハンドルで貼り合わせるときは、ある種の帰納法を用いる。この帰納法は考えている多様体の次元が低い場合はうまくいくことがわかった。しかし、現在、一般次元での構成は、記述が煩雑になってきて、まだ成功していない。
西沢・土屋は、すでに知られている、局所基本群が自明な制御写像をもつ4次元多様体に関する制御手術完全列を利用して位相カテゴリーの古典的手術列の、法構造集合における完全性を示そうというプロジェクトを昨年度から継続して研究を行った。
また、山崎は多様体の構造との関連で、多様体上の連続ベクトル場の指数に関する研究も、学生と共同で行った。有名なポアンカレ・ホップの定理やモースによるその拡張は、いずれも境界には特異点を持たない場合を取り扱っている。我々はベクトル場Vおよびその境界∂Vが共に孤立特異点のみを持つ場合は、境界に特異点があっても、類似の公式が成り立つことを証明した。
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