4次元多様体のChern-Simonsゲージ理論の量子化の研究

2005 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 16540084
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 郡 敏昭 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (50063730)
• Keywords: Chern-Simonsゲージ理論 / 幾何的量子化 / シンプレクティク幾何

Research Abstract

この研究においては、4次元多様体上の平坦接続の空間の準量子化の問題をあつかっている.まず接続の全体が準シンプレクティック空間となることを03年の研究で示しているが、さらに境界上で自明なゲージ変換群がこの空間に、曲率をモーメント写像としてハミルトン作用することがわかり、したがって、そのシンプレクティック縮退である平坦接続の空間がシンプレクティック多様体となることが明らかになった.基礎の多様体が4次元半球体の時には、その幾何的量子化の構成を04年の研究で行っていたが、本年の研究で、より整った形で一般の5次元多様体の境界となるコンパクト4次元多様体の開部分多様体に対しても幾何的量子化の構成ができた.さらにそのような閉4次元多様体については5次元Chern-Simons関数のグラディエントベクトル場との関係が明らかにされた.この5次元Chern-Simons関数の4次元への境界値ともいうべきものが上記の幾何的量子化の平行切断を与えること、また切断の空間へのルジャンドル埋め込みが作られることも示された.つぎに、境界上のゲージ群は平坦接続の空間に無限小シンプレクティックに作用することが04年度の研究でわかっていたが、この作用を準量子化束へ持ち上げる可能性を調べた.その結果4次元半球体の時には、境界上の3次元の写像群の可換拡大が準量子化束に作用し、それは平坦接続への無限小シンプレクティック作用と同変になることが示された.これらの結果は10月にarxiv mathDGに投稿し、さらに3月に大幅な改定を行って専門誌に投稿し掲載を待っている.また10月に函館未来大学「量子情報空間上のダイナミクス」研究会で、11月に首都大学解析セミナー、2月に鳴門市での「シンプレクティック幾何研究会」で講演した.