幾何構造と写像のシュワルツ微分および偏微分方程式の研究

2004 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 16540085
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Research Institution: Meijo University
• Principal Investigator: 小沢 哲也 名城大学, 理工学部, 教授 (20169288)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 岡本 清郷 名城大学, 理工学部, 教授 (60028115) ; 橋本 英哉 名城大学, 理工学部, 教授 (60218419) ; 加藤 芳文 名城大学, 理工学部, 助教授 (40109278) ; 塚本 道朗 名城大学, 理工学部, 講師 (80076637)
• Keywords: 接触構造 / CR構造 / シュワルツ微分 / 正規接続 / 偏微分方程式系 / 射影構造 / ハイゼンベルグ標構 / 零曲率条件

Research Abstract

1.幾何構造に即した写像のシュワルツ微分と正規接続あるいはそれに類似の概念との関係を明らかにする観点から,CR構造の場合の田中-ウェブスター接続の一意性定理は重要であるので,本研究の鍵となるハイゼンベルグ標構を使った一意性の別証明を行った.また,同様のことがsu(2)標構に関しても可能であることを確かめることができた.
2.射影構造と接触構造との間の類似性は明示的ではないが,ある種の非可換な微分作用素の組を導入することにより射影構造に対して得られた結果を,接触構造に対して本質的に新しいものに移行することが可能であるという着想が生まれ,その応用として接触多様体の一意化方程式を得る方法論を確立することができた.
3.CR構造の下部構造としての接触構造に対して,接触ハミルトン関数が生成する接触微分同相がCR微分同相になるための条件をハミルトン関数の微分方程式として表すことができた.これは無限小レベルでのシュワルツ微分とほぼ同等の情報をもつものであり,本来のシュワルツ微分を構成するための重要なステップとなる.
4.ハイゼンベルグ標構等を使い,CRの意味で複素化された互いに非可換な微分作用素が定義され,それを使うことにより,接触構造のときと類似の形で基本方程式のいくつかの候補が得ることができた.現在それらの可積分条件と解空間がもつ幾何構造について種々の検討を行っている.また,可積分条件についてはモーレーカルタン方程式により記述されるが,作用素が非可換であることから生じる困難の克服について検討中である.
上記の成果は次年度以降の研究にとって重要な基礎となるものである.