2004 Fiscal Year Annual Research Report
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16540149
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
畑 政義 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (40156336)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
永田 誠 京都大学, 数理解析研究所, 助手 (30293971)
山内 正敏 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30022651)
上田 哲生 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10127053)
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| Keywords | 超越数 / 代表的整数 / Pisot数 / Salem数 / 小数部分 / Kronecker行列式 / 一様分布 / 有理近似 |
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| Research Abstract |
数年来続けてきたMahlerの3/2問題に関連して、一般にλθ^nの小数部分に関する研究を行った.λあるいはθを固定するごとに、ほとんどすべての値において一様分布することが知られているが、その例外値、特にPisot-Salem数との関連において、Thue,Gelfond,Siegel,Hardy等を始めとして従来から多くの研究がある.この問題は本質的には代数的整数の性質であるが、特にSalemによってFourier級数による研究方法が見いだされ、解析的手法による研究が始まった.本研究代表者は、この方向によるさらなる研究発展の可能性を感じ、研究を開始した.λθ^nの小数部分をε_nと記すとき、ε_nがある程度漸近的に小さいと(例えば2乗総和可能など)θは、いわゆるPisot数でなければならず、同時にλはθを付加した数体に属さねばならないことが知られている.主要な未解決問題は、これをε_n→0に置き換えられるかという問題である.これは非常に難しい問題だが、これに関連して、ε_nが特別な形c/√<n>で押さえられる場合に、定数cを改良することに成功した.この成果は、現在"Note on the fractional part of λθ^n"と題してActa Arith.に投稿中である.
一方で小数部分ε_nが極めて小さくなるような超越数θの研究は非常に興味ある問題で、Boydの方法を解析的に再構成し、さらなる性質を解明すべく研究を続けているところである.
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