2005 Fiscal Year Annual Research Report
消散作用素のスペクトルと消散系方程式の解の分類に関する研究
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16540161
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
門脇 光輝 愛媛大学, 工学部, 助教授 (70300548)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
定松 隆 愛媛大学, 工学部, 教授 (10025439)
猪狩 勝寿 愛媛大学, 工学部, 教授 (90025487)
伊藤 宏 愛媛大学, 工学部, 教授 (90243005)
渡辺 一雄 学習院大学, 理学部, 助手 (90260851)
中澤 秀夫 千葉工業大学, 工学部, 講師 (80383371)
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| Keywords | 消散作用素 / 消散波動方程式 / 散乱理論 / 重ね合わせ / パーセバルの等式 / 特異連続スペクトル |
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| Research Abstract |
1.研究実績
ランク1の消散項を持つ波動方程式に対して定常および非定常モード分解を行った。なお、消散項はフーリエ像にある種の単調性を仮す(1次元のみ)ものと指数的減数を仮す(2次元以上)ものを考えた。結果は、次の手順によって示された。
(1)消散波動方程式の生成作用素のスペクトルが実軸上の連続スペクトルと複素下半平面の離散固有値から成ることを示した。さらに実軸上の特異連続スペクトルの存在も吟味した。
(2)離散固有値に関する固有射影と実連続スペクトルに関するフーリエ変換(散乱理論の利用)を導いた。
(3)(2)で得た固有射影とフーリエ変換を用いて生成作用素に対するパーセバルの等式(スペクトル分解)を構築した。このことは、生成作用素が(1)に基づいた各スペクトルに関するモードの重ね合わせで記述できることを意味する(定常モード分解)。
(4)消散波動方程式の解が、パーセバルの等式で分解された各定常モードの時間発展系(波動的モードと熱的モード)の重ね合わせで記述できることを示した(非定常モード分解、ただし1次元のみ)。
2.本年度の研究から得られた知見
(1)本研究におけるパーセバルの等式の要である実連続スペクトルに関する量(ある実積分)を、複素積分を用いた実積分計算と同様に一旦、下半平面と上半平面の複素積分を経由して扱うと一般的かつスムーズな解析が可能である。
(2)特異連続スペクトルが存在する場合には、それに関するある種の稠密性を示す必要がある(緻密性がない場合は定常モード分解から非定常モード分解が従わない可能性もあり)。
(3)消散項の条件(指数減衰を仮さない)によっては、上記(1)の複素積分を実積分に極限移行させる際に、実解析的評価が必要になる(ここでは、具体的にはラプラシアンのレゾルベント評価)。
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