2007 Fiscal Year Annual Research Report
非線形発展方程式系に現れるパターンダイナミクスと相互作用について
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16540200
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
栄 伸一郎 Kyushu University, 大学院・数理学研究院, 教授 (30201362)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柳田 英二 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80174548)
藤井 一幸 横浜市立大学, 国際総合科学研究院, 教授 (00128084)
白石 高章 横浜市立大学, 国際総合科学研究院, 教授 (50143160)
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| Keywords | 反応拡散方程式系 / パルス相互作用 / 界面ダイナミクス / フロント進行波解 |
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| Research Abstract |
今年度は当研究期間の最終年度に当たるため、総括的な研究成果を得ることを目標とした。具体的にはまず、1次元フロント進行波解のダイナミクスに関して、その分岐構造を完全に決定するとともに、空間的に非一様性が入った場合の挙動を力学系的視点から整頓した。これにより、フロント進行波解が障壁に対して反射したり通り抜けたりする現象が、不安定多様体のどの側を解軌道が通るかという問題に帰着され、力学系的観点から明快に説明されることとなった。これらの結果に基づき、複数のフロント解の相互作用も解析されるようになった。一般にパルス解の挙動を解析することは困難なごとが多いが、2つのフロント解を組み合わせて安定パルス解を構成し、2つのフロント解の相互作用によるダイナミクスとして解析が可能となりつつある。こうした方向の研究は今後の進展が期待される。次に2次元有界領域上におけるスパイク解の挙動に関しては、その取り扱いに関して一般的な枠組みを与えるとともに、応用例としてGierer-Meinhardtモデル、およびその簡易版であるshadow systemに適用し、これまで得られていた結果をすべて包括できることを示した。具体的には、領域の境界上にあるスパイク解が境界の曲率にしたがって運動し、結果として曲率極大の位置に向かって進むことをダイナミクスの観点から証明した。また曲率極大の点の近傍において、その点を挟む格好の、2つのピークを持った安定スパイク解が存在することも示すことができた。これはこれまで得られていなかった新しい形の解である。こうして単独のスパイ解、および複数のピークを持つスパイク解の運動に関する一般的枠組みを構築できたことが大きな成果の一つしてあげることができる。但し、この理論は2次元空間に限定されているため、今後はその一般次元空間への拡張が求められる。これは次年度以降の新しい研究計画に引き継ぐ予定である。最後に、以上の結果を2次元反応拡散方程式系の界面ダイナミクスに適用することは当初からの目標の一つであったが、当研究期間内に完成することができなかったことは反省すべき点である。ただ大きな問題の一つとなっていた、界面ダイナミクスを数値シミュレーションするためのプログラムは完成し、特にスパイラル運動の中心部分の運動を視覚化する作業を終了することができた。既に形式的議論による理論的考察がこの研究期間内で行われているので、理論とシミュレーション結果との対応を明らかにすることが当面の残された課題として残っている。当研究期間開始当初は、こうした問題を解析するための漠然とした方向性が見えていただけであったが、当期間内に、この問題の難しさの原因や解決に向けた明快な方向性、さまざまな思考実験を行うために必要な道具等がすべて整ったことは一つの成果といえ、次年度以降のさらなる進展が期待される。
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