2004 Fiscal Year Annual Research Report
幾何学的特異空間における調和写像のディリクレ形式による解析
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16540201
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
桑江 一洋 熊本大学, 教育学部, 助教授 (80243814)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小倉 幸雄 佐賀大学, 理工学部, 教授 (00037847)
塩谷 隆 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90235507)
大津 幸男 九州大学, 数理学研究院, 助教授 (80233170)
町頭 義朗 大阪教育大学, 教育学部, 助教授 (00253584)
市田 良輔 横浜市立大学, 総合理学研究科, 教授 (10094294)
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| Keywords | ディリクレ形式 / 調和写像 / 劣調和関数 / 変分収束 / グロモフ・ハウスドルフ収束 / アレキサンドロフ空間 / 加藤クラス / 熱核 |
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| Research Abstract |
平成16年度は以下の研究をおこなった。
(1)測度付き距離空間上の変分収束の研究:この研究は前年に引き続いて分担者である東北大学理学研究科助教授塩谷敬と共同でおこなった。前年度では距離空間の和集合の上に漸近関係というグロモフ・ハウスドルフ位相を例として含む位相を導入してその上の汎関数の変分収束についていくかの結果を得ることに成功したが、本年度はp乗可積分写像全体上の汎関数がエネルギー測度から決まり、sourseの極限空間の局所被覆orderがたかだか1/r^pでp-ポアンカレ不等式をみたせば汎関数が漸近的コンパクトであることの具体的な汎例に的を絞って研究を行ない、区間の無限直積集合上の自然なエネルギーが上記の条件をみたすことを得た。これらは準備中の論文「Variational convergence over metric spaces」にまとめられている。
(2)半群の確率論的表示に関する研究:これはカリフォルニア大学サンディエゴ校教授P.J.Fitzsimmons氏、ワシントン大学教授Z.Q.Chen氏とマンチェスター大学講師T.S.Thang氏との共同研究で前年度におこなった研究の続きである。この研究は飛躍を含まないときにFitzsimmons氏と以前に行なった研究の拡長である。本年度は前年度の結果に加える形でpathwiseに定義された2次変分0のcontinuous additive functionalによるFeynman-Kac型公式の導出に的を絞って研究を行ない成果を得ることができた。これは準備中の2つの論文「Stochastic integrals by continuous additive functional of zero quadratic variations」「Perturbation for symmetric Markov processes」にまとめられている。
(3)加藤クラス測度に関する研究:熱核を許容するマルコフ過程の枠組で次の2つの結果を得ることができた。(i):熱核が非対称なディリクレ形式に対応して超縮小性をみたすときにp乗可積分関数の全体が熱核から決まる加藤クラスに含まれることをpに関する条件の下で示した。これはブラウン運動のときにAizenman-Simonによって最初に示された結果の拡張である。(ii):熱核が非対称なディリクレ形式に対応しているとしてグリーン核を基礎に定義された加藤クラスと熱核を基礎に定義されたものとが同等であることを熱核の上下評価と保存性および開球の体積に関する条件のもとで示した。これは上述のAizenman-Simonのもうひとつの結果の拡張である。結果の具体例として対称安定過程、相対論的ハミルトニアン過程、フラクタル集合上の拡散過程やd-集合上の飛躍型マルコフ過程等が挙げられる。これは準備中の2つの論文「Kato class functions of Markov processes under ultracontractivity」「Kato class measures of symmetric Markov processes under heat kernel estimates」にまとめられている。
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Research Products
(5 results)
