非線形方程式に対する解の存在検証の高速化に関する研究

2005 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 16700018
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 中谷 祐介 早稲田大学, 理工学術院, 講師 (80318807)
• Keywords: 精度保証付き数値計算 / 非線形方程式 / Krawczykの方法

Research Abstract

非線形方程式に対し,その解を数学的にも厳密に検証する手法について研究,関発を進めてきた.一般に、計算機上で数値計算を行う際は浮動小数点数を利用して計算を進めるが,計算過程において丸め誤差等の混入により,得られる解は誤差を含む,これに対し,近年急速に発展している精度保証付き数値計算の研究により,線形方程式については解の誤差を検証し精度が保証された解を計算する手法が開発され実用化の段階に至っている.一方,非線形方程式に対してもこれらの理論,手法を拡張することにより,解の精度を保証することが可能となる.
非線形方程式f(x)=0に対して解の存在検証を行う場合の有力な手法の一つとしてKrawczykの方法がある.この手法により非線形方程式の解の存在検証を行う際,その過程において導関数fの評価を厳密に行う必要がある,この評価を計算機上で効率良く実現する方法として,自動微分と呼ばれる手法を用いることが考えられる.そこで,精度保証付き数値計算の手法を用いることにより自動微分による導関数fの評価を行い,Krawczykの方法の効率化を図った.
また,実用性を確認するために,ある非線形回路方程式に対しその動作点を求める問題に適用した.これまでこの回路については動作点が3つしか存在しないとされていたが,最近になりそれ以上の動作点が存在することが明らかにされている.本研究では精度保証付きで動作点の計算を行い,この回路方程式に対して3つより多い動作点が存在することを厳密に証明した.