可換環のイデアルのfiltrationに随伴する次数環の代数構造

2004 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 16740001
• Research Institution: Hokkaido University of Education
• Principal Investigator: 居相 真一郎 北海道教育大学, 教育学部札幌校, 助教授 (50333125)
• Keywords: 随伴次数環 / Rees代数 / Gorenstein環 / Cohen-Macaulay環 / 正準加群

Research Abstract

この研究の目的は随伴次数環G(I)(associated graded ring)の環構造,特にGorenstein性を判定する簡便かつ実際的な方法の開発にあります。この周辺の研究は国内外の研究者によって多くの優れた論文が発表されており,一見,研究し尽されている様に見えますが,実はそうではなく,ほとんどの論文が対象とするイデアルIにgenerically a complete intersectionであると言う仮定を付けており,そうでない場合には手に負えないというのが実状のようです.この困難さの原因としては,この種の研究が盛んに行われていた当時,いわゆるa-invariant formulaにanalytic deviationの制限が掛かっていたためと思われます.現在ではB.Ulrich等によってその制限がはずされていますが,対象としている次数環にCohen-Macaulayであるという仮定が付いているため,使いきれない面があるように思います.そこで本研究の足がかりとして,16年度はa-invariant formulaをもう一度洗い直すことからはじめました.その結果,a^*-invariantに於ける(ささやかではありますが)次の等式を得るに至りました.即ち,G(I)は(Cohen-Macaulayよりも弱い)ある条件を満たすと仮定すると,等式a^*(G(I))=max{a(G(I)),r-l}が成り立つ.ただしrはIのreduction number, lはIのanalytic spreadを表す.この等式はこの研究の中で派生的なものではありますが,この等式を得る過程で,考察をa-invariantだけではなくa^*-invariantにまで広げたことによってある知見を得て,幸いなことに,先行するG(I)のCohen-Macaulay性の判定法を拡張することに成功しました.つまり,generically a complete intersectionだけではなくより一般のイデアルについてG(I)のCohen-Macaulay性が判定できるようになったということです.目標であるGorenstein性はCohen-Macaulay性より強い条件なのですが,このことをステップとして弾みをつけ,現在(満足すべきでない)強い条件を課していますが,Gorenstein性についてもある結果を得ており,この強い条件をはずすことが課題となっています.