| Research Abstract |
本年度は一般バーマ加群のカペリ恒等式に関連する,対称対のカペリ恒等式の研究に注力した.
実斜交リー群Spの中に,4つの簡約リー群G, K, M, Hがあり,組(G, K)と(M, H)はともにリーマン対称対をなし,組(G, H)と(K, H)はともにSpの中で互いに他の交換団になっている状況を考え,U (g)でGの普遍包絡環の複素化を表すなどとする.このとき,U (sp)のWeil表現とよばれる無限次元表現があり,
{U (g)のK-不変元のWeil表現による像} = {U (m)のH-不変元のWeil表現による像},(^*)となっているという事実がある.つまり,Weil表現の核という両側イデアルを法として,U (g)のK-不変元全体と,U (m)のH-不変元全体は一致している.上の等号(^*)の対応を具体的に与える式を対称対のカペリ恒等式と呼ぶ.
本研究では,(G, K)がエルミート対称対となるような場合3通りすべてに対して,等号(^*)左辺の「特定の」元たちを右辺の元たちで表す恒等式を得た.「特定の」とは,U (g)のK-不変元すべてではないが,微分作用素の主表象を考えると,g上のK-不変多項式全体となるような元たちという意味である.つまり,G/K上の不変微分作用素環と関係するような部分を相手にしているといえる.
この結果について,以下の研究集会で発表した:
2004年6月,第7回代数群と量子群の表現論研究集会,Capelli identities for symmetric pairs.
2004年8月,京都大学数理解析研究所研究集会「表現論および等質空間上の調和解析」,Capelli identities for symmetric pairs.
2004年9月,日本数学会2004年度秋季総合分科会,対称対のカペリ恒等式.
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