冪零軌道の幾何学を用いた指標層及びDeligne系列の研究

2004 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 16740025
• Research Institution: Akashi National College of Technology
• Principal Investigator: 面田 康裕 独立行政法人国立高等専門学校機構明石工業高等専門学校, 一般科目, 講師 (30332042)
• Keywords: 冪零軌道 / 表現論 / secant多様体 / 指標層 / 特性サイクル / Deligne系列 / 例外型単純リー環 / b-関数

Research Abstract

単純リー環の冪零軌道は、対応する単純リー群の表現論と深い関係がある。本研究においては、以下のことを目標とする。まず、冪零軌道の代数幾何学的性質、特に、その双対多様体やsecant多様体といった対象を調べる。さらに、そこで得られた研究成果を用いて、単純リー群の表現論、特にLusztigによる指標層の研究をおこない、カスピダル指標層の特性サイクルを完全に決定すること。また、Deligne系列と呼ばれる例外型単純リー環の系列に関する様々な結果(例えば冪零軌道に対応する概均質ベクトル空間のb-関数に関する規則性など)の統一的な理解を得る事が目標である。
平成16年度には特に冪零軌道のsecant多様体の明示的な表示を得る事を考えた。古典型リー環の場合、特にA, C型の場合には、すべての冪零軌道についてそのsecant多様体の具体的な記述を決定できた。B、D型については、(2,・・・,2)型以外の冪零軌道のsecant多様体の具体的な記述を決定した。これらは、極小軌道の場合に楫・保倉の両氏により得られている半単純元による記述と類似のものとなっている。残っているB, D型における(2,・・・,2)型の場合については、問題を対応する固有方程式の性質に帰着させたのだが、いまだ完全な解決には至っていない。これについては、来年度の研究課題としたい。例外型については、特に余次元の低いものについては、tangent多様体の構造からsecannt多様体を決定できたが、一般の軌道に対しては、研究途中である。
得られた結果については、平成17度に表現論関係の研究会等での発表を予定している。