2005 Fiscal Year Annual Research Report
非線形拡散方程式における波面、及び曲面の力学的挙動の研究
| Project/Area Number |
16740099
|
|---|
| Research Institution | The University of Tokyo |
|---|
Principal Investigator |
柳下 浩紀 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 研究拠点形成特任研究員 (80349828)
|
|---|
| Keywords | 非線形拡散方程式 / 放物型偏微分方程式 / 特異摂動問題 / 非線形解析 / 応用解析学 / 力学系理論 / 定性的研究 / 数値計算 |
|---|
| Research Abstract |
『(広い意味での)特異摂動問題』、『力学的に安定な局在パターンが局所的には小さく、しかしながら、大域的には大きな変形を受けたときに示すダイナミクスを支配する縮約方程式の数学的導出』、『解の初期状態と、そこから長時間経過の後に解が示す振る舞いとの関係』、『自己相似解や進行波解に代表されるような後方大域解』等に興味を持って研究を進めた。具体的には、以下のような成果が得られた。
有界領域上でNeumann境界条件を課したべき乗型の非線形項をもつ拡散方程式の解の爆発形状について研究した。拡散係数が大きいときの解の爆発形状は、初期条件のラプラシアンに関する第二固有成分で特徴づけられることを示した。
Giraoらにより平面内の曲線短縮方程式はクリスタライン曲率流で近似できることが示されている。これに対して本研究では、2次元において成功した石井&Sonerの摂動試験関数法による証明を微分幾何のMinkowski問題の古典的理論を用いて拡張することによって、3次元空間内のガウス曲率流が原点対称なウルフ図形をもつクリスタライン流で近似できることを示した。
平面内の非等方曲線短縮方程式について研究した。Gageらは、凸曲線は漸近的に自己相似解となること、及び、非等方性がπ周期的である場合には自己相似解は一意であることを示した。一般の場合では、非一意である例が存在し得ることがAndrewsにより指摘されていたが証明は未完成であった。本研究では、その簡単な証明を与えた。
|
Research Products
(3 results)
