2017 Fiscal Year Annual Research Report
Dynamics of transcendental and rational functions
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16F16807
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
宍倉 光広 京都大学, 理学研究科, 教授 (70192606)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
MARTI-PETE DAVID 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 外国人特別研究員
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| Project Period (FY) |
2016-11-07 – 2019-03-31
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| Keywords | 力学系 / 超越関数 / 分岐 / ファトゥー集合 / フラクタル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
複素平面上の超越整関数により定義されるアーノルド族 z-> dz + K sin(2π z) + ω （ここで d は整数、K, ω は実数）のパラメタ空間内の分岐集合について研究した。特に主要な放物型パラメータの周りに分岐集合が「指」状のパターンをもつことが以前から知られていたが、これについて、放物型不動点の分岐の理論、特にFatou座標を用いた解析を行い、それが生成される原理を解明した。そのためには、摂動された放物型不動点のの周りでの再帰写像を定義し、それを摂動前のFatou座標と結びつけることにより、新しい分岐パラメータ（Ecalle円筒上の平行移動に対応する）を導入した。指状集合はこの新しい座標によれば、平行な帯状領域になり、指が有限個であること、その個数の大まかな評価が与えられることを発見した。
C. Bishopにより開発された擬等角折り込みの方法(Acta Math. 2015)とそれを用いた振動的遊走領域の構成について、彼自身による文献やそれを用いた他の研究者による研究について精査した。そこで利用されている、複素双曲線関数や複素指数関数の擬正則写像による補間定理や、遊走領域を構成する際の摂動の逐次構成などにおいて、証明に不具合があることを発見した。これらの不具合を回避する方法を考案し、彼らの主張の証明を補正し、正しい証明を与えることが出来た。さらに、擬等角折り込みの方法自体を使わずに、有界特異値集合をもつ有限位数の超越関数で振動的遊走領域をもつものを構成するための研究を続けている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
擬等角折り込みの方法の拡張について研究する予定であったが、原論文の証明の不備を発見した。しかい、この問題点を回避する新しい証明を与えることが出来た。
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| Strategy for Future Research Activity |
擬等角折り込みの方法の証明の問題点については、原著者とコンタクトを取り、その補完について検討すると共に、遊走領域の構成のより簡素化された証明を与え、関数の位数の評価が出来るようにしたい。
また、超越関数の族に関するYoccozパズル・パラパズル分解について引き続き研究を行う。
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