2016 Fiscal Year Annual Research Report
Birational geometry of higher dimensional algebraic varieties
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16H02141
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
川又 雄二郎 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90126037)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
戸田 幸伸 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 准教授 (20503882)
小木曽 啓示 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40224133)
高木 俊輔 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (40380670)
大川 新之介 大阪大学, 理学研究科, 講師 (60646909)
權業 善範 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70634210)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 代数多様体 / 極小モデル理論 / 導来圏 / トーリック多様体 / マッカイ対応 / 例外対象 / 半直交分解 / 多元非可換変形 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
トーリック多様体上の連接層の導来圏が双有理写像によってどのように変化するかという問題を以前から研究してきたが、その応用としてGL(3,C)の有限部分群に対する導来的マッカイ対応を証明した。主定理は以下の通りである：有限部分群Gの3次元アフィン空間への作用に関する同変導来圏は、対応する商特異点のひとつの最大Q-分解的末端化の導来圏と、いくつかの相対的例外対象による半直交分解を持つ。最大 Q-分解的末端化とは、標準因子が減少するという条件のもとでの最大爆発のことであり、その存在は極小モデル理論からの帰結である。Gの固定点集合が原点のみであれば例外対象が出てくるが、一般の場合には相対的例外対象が出てくる。これは対数的標準因子の不等式に関する DK予想と両立する結果である。
代数多様体の双有理幾何学の観点から連接層の導来圏を研究する中で、代数多様体上の連接層の非可換変形の研究に導かれた。代数多様体自体やその上の層は可換な対象だが、変形の底空間が非可換環であるような変形を考察した。理論の枠組みは可換変形の場合の類似であるにもかかわらず、非可換変形のほうが多様な変形を許す場合がある。さらに、層の直和を「多元非可換変形」すると、直和因子の間の非可換相互作用が起きるのも特徴的である。なお、これらの理論はより一般にアーベル圏の対象に対しても成立する。まず対象のなす「単純組」というものを定義し、その半普遍変形を構成した。そして、局所的にはカラビヤウ条件を満たす３次元代数多様体の連接層の単純組の多元非可換変形を考察し、底空間上相対的な球面対象が数多く構成できることを示した。これにより、相対的球面ねじりによる導来圏の同値関手が数多く構成された。また、局所的にはファノ条件を満たす代数多様体上では、底空間上相対的な例外対象が数多く構成され、導来圏の半直交分解が誘導されることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究代表者によるいわゆるDK予想は双有理幾何学と導来圏の理論を結ぶ鍵となる作業仮説である。これを推進していくことがこの研究の重要な柱であるが、今年度は３次元の商特異点をもつ多様体に対するマッカイ対応の場合にこれを証明した。DK予想（K同値やK不等式からD同値やD埋め込みが従う）は難しい問題であるが着々と進展しているといえる。研究分担者である大川氏らが今年度提唱したDL予想（D同値からL同値が従う）との関連も興味深く、研究の広がりが期待できる。
そのほか、非可換代数幾何学との関連の研究や、極小モデル理論の正標数への拡張なども着実に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
対数的末端特異点を持った組に対して正しい導来圏を定義することを目指す。とくに、滑らかな多様体とその上の単純正規交差因子を台に持つようなR因子に対して、正しい導来圏の列を定義したい。さらに、これを使って代数曲面や末端特異点のみを持つ３次元多様体に対するDK予想を定式化し証明したい。
DK予想をDL予想と関連付け、代数多様体のグロタンディーク群のような線形化も考える。その際、双有理写像をフリップやフロップに分解する極小モデル理論に基づく方法と、滑らかな中心によるブローアップとブローダウンに分解するという弱分解定理の双方をうまく使いこなしていく。
研究分担者である戸田氏、大川氏とともに非可換代数幾何学への拡張を研究する。導来圏の理論は非可換代数幾何学と様々な局面で関係する。極小モデル・プログラムの過程は壁越え現象と考えられるが、これを安定性条件の変化ととらえると、対応したモジュライ空間が変化していくので、これを具体的に解析する。また、非可換変形を大局的に考えると非可換多様体が構成されるので、非可換有理曲面をこの観点から解析する。
研究分担者である高木氏、権業氏、中村氏とともに、極小モデル理論を正標数に拡張することを考える。そのために、消滅定理の拡張やその応用を研究する。ヴィット環を使った議論が有効ではないかと思われ、この方向をさらに進める。
研究分担者である権業氏とは、引き続きアバンダンス予想へのアプローチを探る。とくに、対数的多重種数が正であることがわかっている場合に、これが２以上になることを示すことに注力したい。また、フリップの終結を証明するために、力学形の議論を応用する可能性を探る。
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