2018 Fiscal Year Annual Research Report
Birational geometry of higher dimensional algebraic varieties
| Project/Area Number |
16H02141
|
|---|
| Research Institution | The University of Tokyo |
|---|
Principal Investigator |
川又 雄二郎 東京大学, 大学院数理科学研究科, 名誉教授 (90126037)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
戸田 幸伸 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (20503882)
高木 俊輔 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40380670)
權業 善範 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70634210)
大川 新之介 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (60646909)
中村 勇哉 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (20780034)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
|
| Keywords | 導来圏 / 双有理幾何学 / 標準因子 / 半直交分解 / 安定性条件 / 非可換変形 / 壁超え / 偏屈連接層 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
導来圏の構造を調べるために、導来圏の半直交分解は有効な手段である。多様体が滑らかである場合には、Kuznetsovによるファノ多様体の導来圏の半直交分解の研究が有名である。例外対象の列を使って許容部分圏を構成すれば、半直交補圏として幾何学的に重要な部分が取り出せる。また一般型の代数曲面の場合にも、この方法によってファントム圏が構成される。ここでは多様体が特異点を持つ場合に、同様の構成を拡張することを目的とした。特異点の存在のおかげで例外対象にならなかった連接層も、非可換変形によって相対的例外対象に拡張することができることがあり、この時には半直交分解が可能となり、特異点に由来する非可換環の導来圏と、残りの滑らかな多様体に対応する導来圏の部分に分解できることを示した。特に、通常特異点を持つ多様体の場合に実例を計算した。
研究分担者の戸田は、d臨界構造を持つスキームに対してd臨界フリップといった双有理変換の類似物を定義し、DK予想もd臨界構造版に拡張した。高木は、３次元の滑らかな大域的F正則多様体は、反標準因子がネフならば巨大であることを証明した。大川は曲線のモジュライ・スタックやHirzebruch曲面のなどの多様体に対して非可換変形を研究し、導来圏に例外列を構成した。中村は特異点を持つファノ多様体のLCセンターを研究し、３次元の場合にその形を決定した。権業は高余次元の部分多様体のなす錐体を研究した。またBirkarにBAB予想の証明の一部簡略化も行なった。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
導来圏の双有理幾何学においては、導来圏自体の構造の分析と、導来圏の中の対象のモジュライ空間の研究が二つの柱である。前者では半直交分解が重要な手段であり、後者ではBridgeland安定性条件がキーになる。今年度の研究では、特異点を持った多様体に対して前者の問題に対する従来の方法を拡張することを目指した。重み付き射影平面の場合に研究代表者が得た結果はKuznetsovらによって巡回群による商特異点を持った有理曲面の場合に拡張されたが、３次元以上の場合にはどうなるかを研究した。そして極小モデル理論でも重要だったQ分解性がここでも重要であることがわかった。また、後者に関しては、単純偏屈連接層を使ってBridgeland安定性条件を定義する時、フリップやフロップがどのように壁超えとして得られるかを研究した。
|
| Strategy for Future Research Activity |
導来圏の理論を従来の問題へ応用することも重要である。3次元のフリップやフロップは標数０や標数７以上では存在が知られているが、小さな標数では従来の方法が使えないため知られていない。そこで導来圏を使った方法が有力な候補になる。傾斜ベクトル束を使って偏屈連接層を定義し、単純偏屈連接層を使ってBridgeland安定性条件を定義するとき、フリップする前の多様体上の点層は安定偏屈連接層だが、安定性条件の壁超え後には不安定になる。そして新しい安定性条件によるモジュライ空間としてフリップが構成できるのではないかと思われる。実際、滑らかな３次元多様体のフロップはこうしても構成できることが確かめられるので、これを一般化することを目標とする。研究分担者の戸田はPiyaratneと共同で３次元多様体の壁超えを研究したが、これを応用する。
|
