2019 Fiscal Year Annual Research Report
Birational geometry of higher dimensional algebraic varieties
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16H02141
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
川又 雄二郎 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別教授 (90126037)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
戸田 幸伸 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (20503882)
中村 勇哉 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (20780034)
高木 俊輔 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40380670)
大川 新之介 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (60646909)
權業 善範 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70634210)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 代数多様体 / 導来圏 / 半直交分解 / 非可換変形 / 相対的例外対象列 / A無限大構造 / 普遍族 / 障害 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非可換変形の普遍族のパラメーター環をA無限大構造を使って記述できることを証明した。これは専門家には既に知られていた結果といえるが、特異点を持った代数多様体上の場合にも適用できる証明が文献になかったので、意味があると思われる。また、２次の有理曲線などの具体的な場合に対して、非可換変形の普遍族を構成した。可換な変形では障害がないが、可換変形よりも多くの非可換変形があり、しかもそれでも非可換変形に障害があるというような状況が観察された。
ある種の特異点のないファノ多様体では、例外対象列を使った導来圏の半直交分解が存在するが、特異点を持つような場合に対して同じようなことを考えると、同じように導来圏を生成する連接層が例外対象にならないためにうまくいかない。そこで、それらの連接層の非可換変形の普遍族をとると、うまく行く場合には、相対的例外対象列と呼ぶべきものが得られ、こうして導来圏の半直交分解を構成することができた。
戸田は、代数曲面上の標準因子の全空間として与えられる非コンパクト３次元カラビヤウ多様体（局所代数曲面と呼ばれる）上の圏論的Donaldson-Thomas理論 の概念を定義し、それらの壁越えによる振る舞いに関する一連の予想を提唱した。そして、これらの予想を幾つかの特別な場合（例えばconifoldの特異点解消の場 合など）に証明した。
高木は、孤立特異点しか持たない3次元大域的F正則射影多様体上の非常に豊富な直線束に対し，秋月・中野の消滅定理が成り立つことを証明した。この応用として、高々通常二重点しか持たない3次元大域的F分裂ファノ多様体の変形について研究し、並河良典氏の結果の正標数への拡張を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究代表者は、滑らかな代数多様体の導来圏の半直交分解を、特異点を持つような代数多様体の場合に拡張することを目指し、連接層の非可換変形を用いて考察するという研究を始めたが、既にその反響がロシアーイギリス方面からあり、重み付き射影平面についての結果はKarmazyn-Kuznetsov-Shinderの論文「Derived categories of singular surfaces」に、通常２重点を持つ３次元多様体の結果はKalck-Pavic-Shinderの論文「Obstructions to semi-orthogonal decompositions for singular threefolds」に引用され評価されている。
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| Strategy for Future Research Activity |
非可換変形のパラメーター環として特異点を持った環が定義できる。これを使って、極小モデル理論における双有理写像と導来圏の半直交分解との対応において、特異点を持ちながらも正しい導来圏を求める。このような結果は通常特異点を持つ３次元多様体に場合に既に得られているが、この結果を一般化して末端特異点の場合に拡張する。そうして得られた結果を基にして、フリップ、フロップと因子収縮写像に対して、極小モデル理論と導来圏の半直交分解の関係を明らかにする。さらに、そもそも非可換変形が本来可換である代数多様体上でいかにして出現するかという問いを考える。この現象は計算すれば確かにそうなっているのだが、もっとよく理解するために例の解析を深める。
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